放物線 $C: y = -x^2 + 4x$ 上の点 $(1, 3)$ における接線 $l$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = -x^2 + 4x$ 上の点 $(1, 3)$ における接線 $l$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1: 接線 $l$ の方程式を求める。

$y = -x^2 + 4x$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = -2x + 4$

$x=1$ のとき $\frac{dy}{dx} = -2(1) + 4 = 2$ となる。

したがって、点 $(1, 3)$ における接線 $l$ の傾きは 2 である。

接線 $l$ の方程式は、

$y - 3 = 2(x - 1)$

$y = 2x - 2 + 3$

$y = 2x + 1$

ステップ2: 接線 $l$ と $x$ 軸の交点を求める。

$y = 2x + 1$ と $y = 0$ の交点を求める。

$2x + 1 = 0$

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

したがって、接線 $l$ と $x$ 軸の交点は $(-\frac{1}{2}, 0)$ である。

ステップ3: 求める面積 $S$ を計算する。

接線 $l$ と $x$ 軸、および $x = 1$ で囲まれる領域は三角形である。

三角形の底辺の長さは $1 - (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ である。

三角形の高さは、点 $(1, 3)$ の $y$ 座標であり、3 である。

したがって、面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times 3 = \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{9}{4}$