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放物線 $y = x^2 - 2ax - 3a + 4$ が与えられています。 (1) 放物線の頂点の座標と、$a$ の取りうる値の範囲を求めます。 (2) 線分 AB の長さを $a$ を用いて表します。ただし、A, B は放物線と x 軸の交点です。 (3) 放物線と直線 $y = 3$ の交点を C, D とします。このとき、2AB = CD となるような $a$ の値を求め、4点 A, B, C, D を頂点とする台形の面積を求めます。さらに、2点 A, B が x 軸の正の部分にあるとき、二つの線分 OA, OB の長さの和を求めます。

代数学二次関数放物線頂点判別式解の公式台形線分の長さ
2025/8/15
はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に回答していきます。

1. 問題の内容

放物線 y=x2−2ax−3a+4y = x^2 - 2ax - 3a + 4 が与えられています。
(1) 放物線の頂点の座標と、aa の取りうる値の範囲を求めます。
(2) 線分 AB の長さを aa を用いて表します。ただし、A, B は放物線と x 軸の交点です。
(3) 放物線と直線 y=3y = 3 の交点を C, D とします。このとき、2AB = CD となるような aa の値を求め、4点 A, B, C, D を頂点とする台形の面積を求めます。さらに、2点 A, B が x 軸の正の部分にあるとき、二つの線分 OA, OB の長さの和を求めます。

2. 解き方の手順

(1)
放物線を平方完成します。
y=x2−2ax−3a+4=(x−a)2−a2−3a+4y = x^2 - 2ax - 3a + 4 = (x - a)^2 - a^2 - 3a + 4
したがって、頂点の座標は (a,−a2−3a+4)(a, -a^2 - 3a + 4) です。
放物線が x 軸と異なる 2 点で交わる条件は、y=0y=0 とした二次方程式 x2−2ax−3a+4=0x^2 - 2ax - 3a + 4 = 0 が異なる2つの実数解を持つことです。判別式 D > 0 であれば良いので、
D/4=a2−(−3a+4)=a2+3a−4>0D/4 = a^2 - (-3a + 4) = a^2 + 3a - 4 > 0
(a+4)(a−1)>0(a + 4)(a - 1) > 0
よって、a<−4a < -4, 1<a1 < a
(2)
x 軸との交点 A, B の x 座標は、x2−2ax−3a+4=0x^2 - 2ax - 3a + 4 = 0 の解です。解の公式より、
x=2a±4(a2+3a−4)2=a±a2+3a−4x = \frac{2a \pm \sqrt{4(a^2 + 3a - 4)}}{2} = a \pm \sqrt{a^2 + 3a - 4}
したがって、AB の長さは
AB=(a+a2+3a−4)−(a−a2+3a−4)=2a2+3a−4AB = (a + \sqrt{a^2 + 3a - 4}) - (a - \sqrt{a^2 + 3a - 4}) = 2\sqrt{a^2 + 3a - 4}
(3)
放物線と直線 y=3y = 3 の交点を求めます。
x2−2ax−3a+4=3x^2 - 2ax - 3a + 4 = 3
x2−2ax−3a+1=0x^2 - 2ax - 3a + 1 = 0
x=2a±4a2−4(−3a+1)2=a±a2+3a−1x = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 4(-3a + 1)}}{2} = a \pm \sqrt{a^2 + 3a - 1}
CD の長さは
CD=(a+a2+3a−1)−(a−a2+3a−1)=2a2+3a−1CD = (a + \sqrt{a^2 + 3a - 1}) - (a - \sqrt{a^2 + 3a - 1}) = 2\sqrt{a^2 + 3a - 1}
2AB = CD より
2⋅2a2+3a−4=2a2+3a−12 \cdot 2\sqrt{a^2 + 3a - 4} = 2\sqrt{a^2 + 3a - 1}
2a2+3a−4=a2+3a−12\sqrt{a^2 + 3a - 4} = \sqrt{a^2 + 3a - 1}
両辺を 2 乗して、
4(a2+3a−4)=a2+3a−14(a^2 + 3a - 4) = a^2 + 3a - 1
4a2+12a−16=a2+3a−14a^2 + 12a - 16 = a^2 + 3a - 1
3a2+9a−15=03a^2 + 9a - 15 = 0
a2+3a−5=0a^2 + 3a - 5 = 0
a=−3±9+202=−3±292a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}
(1) より、a<−4a < -4 または 1<a1 < a でなければならないので、a=−3−292a = \frac{-3 - \sqrt{29}}{2} は a<−4a<-4 を満たし、a=−3+292a = \frac{-3 + \sqrt{29}}{2} は 1<a1 < a を満たします。
a=−3±292a = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2} のとき、
x2−2ax−3a+4=0x^2 - 2ax - 3a + 4 = 0 の解は x=a±a2+3a−4x = a \pm \sqrt{a^2 + 3a - 4}
x2−2ax−3a+1=0x^2 - 2ax - 3a + 1 = 0 の解は x=a±a2+3a−1x = a \pm \sqrt{a^2 + 3a - 1}
台形の高さは 33 なので、台形の面積は
S=12(AB+CD)⋅3=32(2a2+3a−4+2a2+3a−1)=3(a2+3a−4+a2+3a−1)S = \frac{1}{2} (AB + CD) \cdot 3 = \frac{3}{2}(2\sqrt{a^2 + 3a - 4} + 2\sqrt{a^2 + 3a - 1}) = 3 (\sqrt{a^2 + 3a - 4} + \sqrt{a^2 + 3a - 1})
a2+3a=5a^2 + 3a = 5 なので、S=3(5−4+5−1)=3(1+2)=9S = 3(\sqrt{5 - 4} + \sqrt{5 - 1}) = 3(1 + 2) = 9
2点 A, B が x 軸の正の部分にあるとき、a+a2+3a−4>0a + \sqrt{a^2 + 3a - 4} > 0 かつ a−a2+3a−4>0a - \sqrt{a^2 + 3a - 4} > 0
これは a>a2+3a−4a > \sqrt{a^2 + 3a - 4} を意味し、a>0a>0 かつ a2>a2+3a−4a^2 > a^2 + 3a - 4 すなわち 3a<43a < 4 より a<4/3a < 4/3
よって、1<a<4/31 < a < 4/3.
a=−3+292≈1.19a = \frac{-3 + \sqrt{29}}{2} \approx 1.19 であるから、1<a<4/31 < a < 4/3 の条件を満たします。
OA+OB=(a+a2+3a−4)+(a−a2+3a−4)=2a=−3+29OA + OB = (a + \sqrt{a^2 + 3a - 4}) + (a - \sqrt{a^2 + 3a - 4}) = 2a = -3 + \sqrt{29}

3. 最終的な答え

(1) 頂点：(a,−a2−3a+4)(a, -a^2 - 3a + 4)、a<−4a < -4 または 1<a1 < a
(2) AB=2a2+3a−4AB = 2\sqrt{a^2 + 3a - 4}
(3) a=−3±292a = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2}, 台形の面積：9, OA+OB=−3+29OA + OB = -3 + \sqrt{29}