2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 3$ が与えられています。ただし、$a$は定数です。 (1) 関数 $f(x)$ の最小値を求めます。 (2) $y = f(x)$ のグラフが $x$軸と共有点をもたないとき、$a$ のとりうる値の範囲を求めます。 (3) $a > 0$ とし、$0 \le x \le 2a+1$ における関数 $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とします。 (i) $0 \le x \le 2a+1$ における $y = f(x)$ のグラフの形を答えます。 (ii) $M$ を $a$ で表します。また、$M = 3m$ を満たすとき、$a$ と $m$ の値を求めます。 (iii) $x$ についての方程式 $f(x) = \frac{M+m}{2}$ が、$0 \le x \le 2a+1$ の範囲に異なる2つの解をもつような $a$ の値の範囲を求めます。

はい、この数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 3$ が与えられています。ただし、$a$は定数です。

(1) 関数 $f(x)$ の最小値を求めます。

(2) $y = f(x)$ のグラフが $x$軸と共有点をもたないとき、$a$ のとりうる値の範囲を求めます。

(3) $a > 0$ とし、$0 \le x \le 2a+1$ における関数 $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とします。

(i) $0 \le x \le 2a+1$ における $y = f(x)$ のグラフの形を答えます。

(ii) $M$ を $a$ で表します。また、$M = 3m$ を満たすとき、$a$ と $m$ の値を求めます。

(iii) $x$ についての方程式 $f(x) = \frac{M+m}{2}$ が、$0 \le x \le 2a+1$ の範囲に異なる2つの解をもつような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = (x-a)^2 - a^2 + 2a + 3$

最小値は $-a^2 + 2a + 3$ となります。

(2) $y = f(x)$ のグラフが $x$軸と共有点をもたない条件は、$f(x) = 0$ が実数解をもたないことです。これは、判別式 $D$ が $D < 0$ を満たすことと同値です。

$D/4 = a^2 - (2a+3) < 0$

$a^2 - 2a - 3 < 0$

$(a-3)(a+1) < 0$

$-1 < a < 3$

(3) $a > 0$ のとき、$f(x) = (x-a)^2 - a^2 + 2a + 3$ であり、$0 \le x \le 2a+1$ です。

(i) 軸は $x=a$ なので、定義域の中央の値 $x = a + \frac{1}{2}$ に対して、$a < a+\frac{1}{2} < 2a+1$ は常に成り立ちます。

$f(x)$は$x=a$に関して対称なので、最小値は$x=a$で取ります。最大値は $x = 2a+1$ でとります。よってグラフの概形は上に凸な放物線で、定義域が軸を含む場合は、グラフの形として③が適切です。

(ii) $M = f(2a+1) = (2a+1)^2 - 2a(2a+1) + 2a + 3 = 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 - 2a + 2a + 3 = 4a + 4$

$M = 4a + 4$

$M = 3m$ より、$4a + 4 = 3(-a^2 + 2a + 3)$

$4a + 4 = -3a^2 + 6a + 9$

$3a^2 - 2a - 5 = 0$

$(3a - 5)(a + 1) = 0$

$a > 0$ より、$a = \frac{5}{3}$

$m = \frac{M}{3} = \frac{4a + 4}{3} = \frac{4(\frac{5}{3}) + 4}{3} = \frac{\frac{20}{3} + \frac{12}{3}}{3} = \frac{\frac{32}{3}}{3} = \frac{32}{9}$

(iii) $f(x) = \frac{M+m}{2}$ より、$x^2 - 2ax + 2a + 3 = \frac{4a+4 + \frac{4a+4}{3}}{2} = \frac{\frac{12a+12 + 4a+4}{3}}{2} = \frac{16a+16}{6} = \frac{8a+8}{3}$

$x^2 - 2ax + 2a + 3 - \frac{8a+8}{3} = 0$

$x^2 - 2ax + \frac{6a+9 - 8a - 8}{3} = 0$

$x^2 - 2ax + \frac{-2a + 1}{3} = 0$

この2次方程式が $0 \le x \le 2a+1$ に異なる2つの解を持つ条件は、

判別式 $D > 0$ かつ、$f(0) > 0$ かつ、$f(2a+1) > 0$ かつ、$0 < a < 2a+1$ (軸が定義域に含まれる)

$D/4 = a^2 - \frac{-2a+1}{3} = a^2 + \frac{2a-1}{3} > 0$

$3a^2 + 2a - 1 > 0$

$(3a-1)(a+1) > 0$

$a < -1$ または $a > \frac{1}{3}$

$f(0) = \frac{-2a+1}{3} > 0$ より、$a < \frac{1}{2}$

$f(2a+1) = (2a+1)^2 - 2a(2a+1) + \frac{-2a+1}{3} = \frac{12a+12 - 2a+1}{3} = \frac{10a+13}{3} > 0$ より、$a > -\frac{13}{10}$

$0 < a < 2a+1$ は常に成り立つ。

したがって、$a > 0$ と $a > \frac{1}{3}$ と $a < \frac{1}{2}$ を満たす $a$ の範囲は$\frac{1}{3} < a < \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $-a^2 + 2a + 3$

(2) $-1 < a < 3$

(3) (i) ③

(ii) $M = 4a + 4$, $a = \frac{5}{3}$, $m = \frac{32}{9}$

(iii) $a \ge \frac{1+\sqrt{10}}{3}$