定積分 $\int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ と書き換えます。

$\int x^{\frac{1}{2}} \, dx$ を計算します。

$\int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いて、

$\int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$ となります。

したがって、$\int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx = \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4}$ を計算します。

$\frac{2}{3} (4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} (1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3} ((\sqrt{4})^3) - \frac{2}{3} ((\sqrt{1})^3) = \frac{2}{3} (2^3) - \frac{2}{3} (1^3) = \frac{2}{3} (8) - \frac{2}{3} (1) = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{14}{3}$