数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_n = a_{n-2} + a_{n-1}$ ($n = 3, 4, 5, \dots$) で定義されているとき、すべての正の整数 $n$ に対して不等式 $a_n < \left(\frac{7}{4}\right)^n$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_n = a_{n-2} + a_{n-1}$ ($n = 3, 4, 5, \dots$) で定義されているとき、すべての正の整数 $n$ に対して不等式 $a_n < \left(\frac{7}{4}\right)^n$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

(1) $n=1, 2$ のとき、$a_n < \left(\frac{7}{4}\right)^n$ が成り立つことを示す。

(2) $n=k, k+1$ のとき、$a_n < \left(\frac{7}{4}\right)^n$ が成り立つと仮定し、$n=k+2$ のときも $a_n < \left(\frac{7}{4}\right)^n$ が成り立つことを示す。

(1) $n=1$ のとき、$a_1 = 1$, $\left(\frac{7}{4}\right)^1 = \frac{7}{4} = 1.75$ より、$a_1 < \left(\frac{7}{4}\right)^1$ が成り立つ。

$n=2$ のとき、$a_2 = 1$, $\left(\frac{7}{4}\right)^2 = \frac{49}{16} \approx 3.06$ より、$a_2 < \left(\frac{7}{4}\right)^2$ が成り立つ。

(2) $n=k, k+1$ のとき、$a_k < \left(\frac{7}{4}\right)^k$ と $a_{k+1} < \left(\frac{7}{4}\right)^{k+1}$ が成り立つと仮定する。

$n=k+2$ のとき、$a_{k+2} = a_k + a_{k+1}$ である。

仮定より、

$a_{k+2} < \left(\frac{7}{4}\right)^k + \left(\frac{7}{4}\right)^{k+1} = \left(\frac{7}{4}\right)^k \left(1 + \frac{7}{4}\right) = \left(\frac{7}{4}\right)^k \left(\frac{11}{4}\right)$

ここで、$a_{k+2} < \left(\frac{7}{4}\right)^{k+2}$ を示すためには、$\left(\frac{7}{4}\right)^k \left(\frac{11}{4}\right) < \left(\frac{7}{4}\right)^{k+2}$ を示せばよい。

$\left(\frac{7}{4}\right)^k \left(\frac{11}{4}\right) < \left(\frac{7}{4}\right)^{k+2}$ は $\frac{11}{4} < \left(\frac{7}{4}\right)^2 = \frac{49}{16}$ と同値である。

$\frac{11}{4} = \frac{44}{16} < \frac{49}{16}$ より、$\frac{11}{4} < \frac{49}{16}$ は成り立つ。

したがって、$a_{k+2} < \left(\frac{7}{4}\right)^{k+2}$ が成り立つ。

(1)(2)より、すべての正の整数 $n$ に対して、$a_n < \left(\frac{7}{4}\right)^n$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての正の整数 $n$ に対して、$a_n < \left(\frac{7}{4}\right)^n$ が成り立つ。