与えられた4次式 $2x^4 + x^3 - 11x^2 - 4x + 12$ を因数分解する。 - 代数学

まず、整数係数多項式の有理根定理を用いて、因数定理が適用できるかどうかを確認する。

定数項は12なので、

\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12

が候補となる。最高次の係数は2なので、

\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}

も候補となる。

x = 1

を代入すると、

2(1)^4 + (1)^3 - 11(1)^2 - 4(1) + 12 = 2 + 1 - 11 - 4 + 12 = 0

となるので、

x - 1

は因数である。

同様に、

x = -2

を代入すると、

2(-2)^4 + (-2)^3 - 11(-2)^2 - 4(-2) + 12 = 32 - 8 - 44 + 8 + 12 = 0

となるので、

x + 2

は因数である。

従って、

x - 1

と

x + 2

は与式の因数であるので、

(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2

も因数である。

次に、与式を

x^2 + x - 2

で割ることで、残りの因数を求める。

筆算を行うと以下のようになる。

```

2x^2 - x - 6

x^2+x-2 | 2x^4 + x^3 - 11x^2 - 4x + 12

-(2x^4 + 2x^3 - 4x^2)

------------------------

-x^3 - 7x^2 - 4x

-(-x^3 - x^2 + 2x)

------------------------

-6x^2 - 6x + 12

-(-6x^2 - 6x + 12)

------------------------

0

```

よって、

2x^4 + x^3 - 11x^2 - 4x + 12 = (x^2 + x - 2)(2x^2 - x - 6)

となる。

さらに、

2x^2 - x - 6

を因数分解する。

2x^2 - x - 6 = (2x + 3)(x - 2)

したがって、

2x^4 + x^3 - 11x^2 - 4x + 12 = (x - 1)(x + 2)(2x + 3)(x - 2)

与えられた4次式 $2x^4 + x^3 - 11x^2 - 4x + 12$ を因数分解する。