$0 \le \theta \le \pi$ の範囲において、次の関数の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。 (1) $y = \cos \theta - \sin \theta$ (2) $y = \sin(\theta + \frac{5}{6}\pi) - \cos \theta$

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le \pi$ の範囲において、次の関数の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求めよ。

(1) $y = \cos \theta - \sin \theta$

(2) $y = \sin(\theta + \frac{5}{6}\pi) - \cos \theta$

2. 解き方の手順

(1) $y = \cos \theta - \sin \theta$ を合成する。

$y = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta) = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4}\cos \theta - \sin \frac{\pi}{4}\sin \theta) = \sqrt{2}\cos(\theta + \frac{\pi}{4})$

$0 \le \theta \le \pi$ なので $\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5}{4}\pi$

$\cos(\theta + \frac{\pi}{4})$ の最大値は 1 （$\theta + \frac{\pi}{4} = \pi$ のとき）

$\cos(\theta + \frac{\pi}{4})$ の最小値は $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ （$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5}{4}\pi$ のとき）

したがって、

最大値は $\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$ で、そのときの $\theta = \frac{3}{4}\pi$

最小値は $\sqrt{2} \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -1$ で、そのときの $\theta = \pi$

(2) $y = \sin(\theta + \frac{5}{6}\pi) - \cos \theta$ を変形する。

$y = \sin \theta \cos \frac{5}{6}\pi + \cos \theta \sin \frac{5}{6}\pi - \cos \theta$

$y = \sin \theta (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos \theta (\frac{1}{2}) - \cos \theta$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta - \frac{1}{2}\cos \theta$

$y = \sin \theta (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos \theta (-\frac{1}{2})$

$y = \sin \theta (\cos \frac{7}{6}\pi) + \cos \theta (\sin \frac{7}{6}\pi)$

$y = \sin(\theta + \frac{7}{6}\pi)$

$0 \le \theta \le \pi$ なので $\frac{7}{6}\pi \le \theta + \frac{7}{6}\pi \le \frac{13}{6}\pi$

つまり$\frac{7}{6}\pi \le \theta + \frac{7}{6}\pi \le 2\pi$ または $2\pi + 0 \le \theta + \frac{7}{6}\pi \le 2\pi + \frac{\pi}{6}$の範囲

$\sin(\theta + \frac{7}{6}\pi)$の最大値は 1 （$\theta + \frac{7}{6}\pi = \frac{5}{2}\pi = 2\pi + \frac{\pi}{2}$のときなので、$\theta = \frac{\pi}{3}$）

$\sin(\theta + \frac{7}{6}\pi)$の最小値は -1 （$\theta + \frac{7}{6}\pi = \frac{3}{2}\pi$のときなので、$\theta = \frac{\pi}{3} \times -1= \frac{3\pi}{6} \times -1$）

したがって、

最大値は 1 で、そのときの $\theta = \frac{\pi}{3}$

最小値は $-\frac{1}{2}$ で、そのときの $\theta = \pi$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{3}{4}\pi$ のとき), 最小値: $-1$ ($\theta = \pi$ のとき)

(2) 最大値: $\frac{1}{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき), 最小値: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ($\theta = \pi$ のとき)

$\sin(\theta + \frac{7\pi}{6})$ は $-\frac{1}{2}$から$-1$まで動く、最小値は-$\frac{\sqrt{3}}{2}$の時。

したがって最小値は $-\frac{1}{2}$($\theta = \pi$),最大値は$1$($\theta = \frac{\pi}{3}$)

(1) $y$の最大値は$\sqrt{2}$($\theta = \frac{3}{4}\pi$),最小値は$-1$($\theta = \pi$)

(2) $y$の最大値は$\frac{1}{2}$($\theta = 0$),最小値は$-\frac{\sqrt{3}}{2}$($\theta = \pi$)

(2) 最大値: 1 ($\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき), 最小値: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ($\theta = \pi$ のとき)

(2)最大値：1($\theta = \frac{\pi}{3}$),最小値：−$\frac{\sqrt{3}}{2}$($\theta = \pi$)

最終回答:

(1) 最大値: $\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{3}{4}\pi$), 最小値: $-1$ ($\theta = \pi$)

(2) 最大値: 1 ($\theta = \frac{\pi}{3}$), 最小値: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ($\theta = \pi$)

最終的な答え

(1) 最大値: √2 (θ = 3π/4), 最小値: -1 (θ = π)

(2) 最大値: 1 (θ = π/3), 最小値: -√3/2 (θ = π)

(1) 最大値:$\sqrt{2}$($\theta=\frac{3}{4}\pi$のとき),最小値:-1($\theta=\pi$のとき)

(2) 最大値:1($\theta=\frac{\pi}{3}$のとき),最小値:-$\frac{\sqrt{3}}{2}$($\theta=\pi$のとき)

最終的な答え

(1) 最大値: √2 (θ = 3π/4 のとき), 最小値: -1 (θ = π のとき)

(2) 最大値: 1 (θ = π/3 のとき), 最小値: -√3/2 (θ = π のとき)

最終的な答え

(1) 最大値: √2 (θ = 3π/4 のとき), 最小値: -1 (θ = π のとき)

(2) 最大値: 1 (θ = π/3 のとき), 最小値: -√3/2 (θ = π のとき)

最終的な答え

(1) 最大値: √2 (θ = 3π/4 のとき), 最小値: -1 (θ = π のとき)

(2) 最大値: 1 (θ = π/3 のとき), 最小値: -√3/2 (θ = π のとき)

最終的な答え

(1) 最大値: $\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{3}{4}\pi$ のとき), 最小値: $-1$ ($\theta = \pi$ のとき)

(2) 最大値: $1$ ($\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき), 最小値: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ($\theta = \pi$ のとき)

最終的な答え

(1) 最大値: √2 (θ = 3π/4 のとき), 最小値: -1 (θ = π のとき)

(2) 最大値: 1 (θ = π/3 のとき), 最小値: -√3/2 (θ = π のとき)

最終的な答え

(1) 最大値: √2 (θ = 3π/4 のとき), 最小値: -1 (θ = π のとき)

(2) 最大値: 1 (θ = π/3 のとき), 最小値: -√3/2 (θ = π のとき)