複数の数学の問題が出題されています。具体的には、集合に関する問題 (19, 20)、条件に関する問題 (22, 23)、命題の証明問題 (24, 25)、および実数に関する命題の真偽問題 (21) があります。

それぞれの問題に対して、以下の手順で解いていきます。

* **問題 19:** 集合

U

,

A

,

B

が与えられているので、それぞれの集合を具体的に書き出し、共通部分

A \cap B

と和集合

A \cup B

を求めます。また、

A

の補集合

\overline{A}

を求め、

\overline{A} \cap B

を求めます。

* **問題 20:** 与えられた命題に対して、集合を使って真偽を判定します。それぞれの命題について、真であれば証明し、偽であれば反例を挙げます。

* **問題 21:** 与えられた命題の真偽を判定します。それぞれの命題について、真であれば証明し、偽であれば反例を挙げます。

* **問題 22:** 与えられた条件に対して、必要条件、十分条件、必要十分条件のいずれが当てはまるか判定します。

* **問題 23:** 与えられた命題の逆、対偶、裏を書き出し、それぞれの真偽を判定します。

* **問題 24:** 与えられた命題を、対偶を利用して証明します。

* **問題 25:**

\sqrt{3}

が無理数であることを利用して、与えられた命題を証明します。

**問題 19**

U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}

A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}

B = \{1, 3, 5, 7, 9\}

(1)

A \cap B = \{1, 3\}

(2)

A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 12\}

(3)

\overline{A} = \{5, 7, 8, 9, 10, 11\}

\overline{A} \cap B = \{5, 7, 9\}

**問題 20**

(1) 偽。反例：

n=8

. 8は6の約数だが、16の約数ではない。

(2) 真。

n

が 9 の倍数ならば、

n = 9k

(k は整数) と表せる。

9k = 3(3k)

より、

n

は 3 の倍数である。

**問題 21**

(1) 偽。反例：

a = 1, b = -1

.

a = b

ではないが、

a^2 = b^2 = 1

である。

(2) 偽。反例：

a = -1, b = -2

.

a \ge b

だが、

\frac{1}{a} = -1 \ge -\frac{1}{2} = \frac{1}{b}

は成り立たない。

**問題 22**

(1) 必要十分条件

(2) 必要条件

**問題 23**

命題：

n

は 8 の倍数

\implies

n

は 4 の倍数 (真)

逆：

n

は 4 の倍数

\implies

n

は 8 の倍数 (偽。反例:

n=4

)

対偶：

n

は 4 の倍数ではない

\implies

n

は 8 の倍数ではない (真)

裏：

n

は 8 の倍数ではない

\implies

n

は 4 の倍数ではない (偽。反例:

n=12

)

**問題 24**

対偶：「

a

が奇数かつ

b

が奇数

\implies

ab

が奇数」を示す。

a, b

が奇数のとき、

a = 2k + 1

,

b = 2l + 1

(

k, l

は整数) と表せる。

このとき、

ab = (2k + 1)(2l + 1) = 4kl + 2k + 2l + 1 = 2(2kl + k + l) + 1

となり、

ab

は奇数である。よって、対偶は真であり、元の命題も真である。

**問題 25**

4 -

\sqrt{3}

が無理数であることを証明する。

背理法を用いる。4 -

\sqrt{3}

が有理数であると仮定すると、

4 - \sqrt{3} = r

(r は有理数) と表せる。

\sqrt{3} = 4 - r

となる。

r が有理数なので、4 - r も有理数となる。

これは、

\sqrt{3}

が無理数であることに矛盾する。

したがって、4 -

\sqrt{3}

は無理数である。

1. 問題の内容

2. 解き方の手順

3. 最終的な答え