放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ と直線 $l$ が2点 A, B で交わっており、A, B の $x$ 座標がそれぞれ -6, 2 である。原点 O を通り、三角形 OAB の面積を二等分する直線と直線 $l$ との交点 C の座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{4}x^2$ と直線 $l$ が2点 A, B で交わっており、A, B の $x$ 座標がそれぞれ -6, 2 である。原点 O を通り、三角形 OAB の面積を二等分する直線と直線 $l$ との交点 C の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、点 A, B の座標を求める。

A の $x$ 座標は -6 なので、$y = \frac{1}{4}(-6)^2 = \frac{1}{4}(36) = 9$。 よって、A の座標は (-6, 9)。

B の $x$ 座標は 2 なので、$y = \frac{1}{4}(2)^2 = \frac{1}{4}(4) = 1$。 よって、B の座標は (2, 1)。

次に、直線 $l$ の式を求める。

直線 $l$ は2点 A(-6, 9) と B(2, 1) を通るので、傾きは $\frac{1-9}{2-(-6)} = \frac{-8}{8} = -1$。

よって、直線 $l$ の式は $y = -x + b$ とおける。

点 B(2, 1) を通るので、$1 = -2 + b$ より $b = 3$。

したがって、直線 $l$ の式は $y = -x + 3$ である。

次に、三角形 OAB の面積を二等分する直線 $m$ を考える。

直線 $m$ は原点 O を通るので、$y = kx$ とおくことができる。

直線 $m$ が三角形 OAB の面積を二等分するということは、直線 $m$ は線分 AB の中点を通る。

線分 AB の中点 M の座標は $\left( \frac{-6+2}{2}, \frac{9+1}{2} \right) = (-2, 5)$。

直線 $m$ は M(-2, 5) を通るので、$5 = k(-2)$ より $k = -\frac{5}{2}$。

したがって、直線 $m$ の式は $y = -\frac{5}{2}x$ である。

最後に、直線 $l$ と直線 $m$ の交点 C の座標を求める。

$y = -x + 3$ と $y = -\frac{5}{2}x$ より、$-x + 3 = -\frac{5}{2}x$。

両辺を2倍して、$-2x + 6 = -5x$。

$3x = -6$ より、$x = -2$。

$y = -(-2) + 3 = 2 + 3 = 5$。

したがって、交点 C の座標は (-2, 5) である。

3. 最終的な答え

C(-2, 5)