a, b は実数とする。次の命題の真偽を調べ、偽である場合には反例をあげよ。 (1) $a = b \implies a^2 = b^2$ (2) $a \geq b \implies \frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$

1. 問題の内容

a, b は実数とする。次の命題の真偽を調べ、偽である場合には反例をあげよ。

(1) $a = b \implies a^2 = b^2$

(2) $a \geq b \implies \frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$

2. 解き方の手順

(1) $a = b \implies a^2 = b^2$ について

$a=b$ のとき、$a^2 = a \times a = b \times b = b^2$ となるため、この命題は真である。

(2) $a \geq b \implies \frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$ について

この命題が偽であることを示すために、反例を挙げる。

例えば、$a=1$, $b=-1$ を考える。このとき、$a \geq b$ は成り立つ。

しかし、$\frac{1}{a} = \frac{1}{1} = 1$, $\frac{1}{b} = \frac{1}{-1} = -1$ であるから、$\frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$ は成り立たない ($1 \leq -1$ は偽)。

別の例として、$a=2$, $b=1$ を考える。このとき、$a \geq b$ は成り立つ。

$\frac{1}{a} = \frac{1}{2}$, $\frac{1}{b} = \frac{1}{1} = 1$ であるから、$\frac{1}{a} \leq \frac{1}{b}$ は成り立つ ($\frac{1}{2} \leq 1$ は真)。

したがって、この命題は偽である。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽。反例：$a=1$, $b=-1$