行列 $A = \begin{pmatrix} \alpha & \alpha^2-1 \\ -1 & -\alpha \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えます。ただし、$\alpha$ は実数です。 (1) $A$ の固有値が $\pm 1$ であることを示してください。 (2) $A$ の固有ベクトルを $\alpha$ の式で表してください。 (3) $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ を満たす正則行列 $P$ を1つだけ求め、$\alpha$ の式で表してください。 (4) $n$ を自然数とするとき、$A^{2n}$ を求めてください。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} \alpha & \alpha^2-1 \\ -1 & -\alpha \end{pmatrix}$ について、以下の問いに答えます。ただし、$\alpha$ は実数です。

(1) $A$ の固有値が $\pm 1$ であることを示してください。

(2) $A$ の固有ベクトルを $\alpha$ の式で表してください。

(3) $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ を満たす正則行列 $P$ を1つだけ求め、$\alpha$ の式で表してください。

(4) $n$ を自然数とするとき、$A^{2n}$ を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める。

行列 $A$ の固有値 $\lambda$ は、特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を満たします。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} \alpha - \lambda & \alpha^2-1 \\ -1 & -\alpha - \lambda \end{pmatrix}$

$\det(A - \lambda I) = (\alpha - \lambda)(-\alpha - \lambda) - (-1)(\alpha^2 - 1) = -\alpha^2 + \lambda^2 + \alpha^2 - 1 = \lambda^2 - 1 = 0$

よって、$\lambda^2 = 1$ となり、$\lambda = \pm 1$ であることが示されました。

(2) 固有ベクトルを求める。

$\lambda = 1$ のとき:

$(A - I)v = 0$ を満たすベクトル $v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求めます。

$A - I = \begin{pmatrix} \alpha - 1 & \alpha^2 - 1 \\ -1 & -\alpha - 1 \end{pmatrix}$

$(\alpha - 1)x + (\alpha^2 - 1)y = 0$

$-x - (\alpha + 1)y = 0$

$x = -(\alpha + 1)y$

$v_1 = \begin{pmatrix} -(\alpha + 1) \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda = -1$ のとき:

$(A + I)v = 0$ を満たすベクトル $v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求めます。

$A + I = \begin{pmatrix} \alpha + 1 & \alpha^2 - 1 \\ -1 & -\alpha + 1 \end{pmatrix}$

$(\alpha + 1)x + (\alpha^2 - 1)y = 0$

$-x + (-\alpha + 1)y = 0$

$x = (\alpha - 1)y$

$v_2 = \begin{pmatrix} \alpha - 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) 正則行列 $P$ を求める。

固有ベクトルを並べた行列 $P$ が、$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ を満たす正則行列になります。

$P = \begin{pmatrix} -(\alpha + 1) & \alpha - 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

(4) $A^{2n}$ を求める。

$P^{-1}AP = D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ となる $P$ が存在するので、$A = PDP^{-1}$ と書けます。

$A^{2n} = (PDP^{-1})^{2n} = PD^{2n}P^{-1}$

$D^{2n} = \begin{pmatrix} 1^{2n} & 0 \\ 0 & (-1)^{2n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

$A^{2n} = PIP^{-1} = PP^{-1} = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 固有値は $\pm 1$

(2) $\lambda = 1$ の固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} -(\alpha + 1) \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda = -1$ の固有ベクトル: $v_2 = \begin{pmatrix} \alpha - 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) $P = \begin{pmatrix} -(\alpha + 1) & \alpha - 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

(4) $A^{2n} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$