不定積分 $\int (x^2 - 2x + 3) dx$ を求めます。

## 問1(1)

1. 問題の内容

不定積分 $\int (x^2 - 2x + 3) dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

不定積分は、各項をそれぞれ積分し、最後に積分定数 $C$ を加えることで求められます。

* $x^2$ の積分は $\frac{1}{3}x^3$

* $-2x$ の積分は $-x^2$

* $3$ の積分は $3x$

よって、

$$$$

\int (x^2 - 2x + 3) dx = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x + C

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x + C$

## 問1(2)

1. 問題の内容

不定積分 $\int (2x-1)(x+4) dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を展開します。

$$(2x-1)(x+4) = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$$

次に、各項をそれぞれ積分し、最後に積分定数 $C$ を加えます。

* $2x^2$ の積分は $\frac{2}{3}x^3$

* $7x$ の積分は $\frac{7}{2}x^2$

* $-4$ の積分は $-4x$

よって、

$$$$

\int (2x-1)(x+4) dx = \int (2x^2 + 7x - 4) dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - 4x + C

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - 4x + C$

## 問2(1)

1. 問題の内容

$F'(x) = 3x + 2$ かつ $F(0) = -1$ を満たす関数 $F(x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$F'(x)$ を積分して $F(x)$ を求めます。

$$$$

F(x) = \int (3x + 2) dx = \frac{3}{2}x^2 + 2x + C

$$$$

次に、$F(0) = -1$ という条件を使って積分定数 $C$ を求めます。

$$$$

F(0) = \frac{3}{2}(0)^2 + 2(0) + C = C = -1

$$$$

したがって、$C = -1$ なので、

$$$$

F(x) = \frac{3}{2}x^2 + 2x - 1

$$$$

3. 最終的な答え

$F(x) = \frac{3}{2}x^2 + 2x - 1$

## 問2(2)

1. 問題の内容

$F'(x) = (3x+1)(2x-3)$ かつ $F(1) = 1$ を満たす関数 $F(x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$F'(x)$ を展開します。

$$$$

F'(x) = (3x+1)(2x-3) = 6x^2 - 9x + 2x - 3 = 6x^2 - 7x - 3

$$$$

次に、$F'(x)$ を積分して $F(x)$ を求めます。

$$$$

F(x) = \int (6x^2 - 7x - 3) dx = 2x^3 - \frac{7}{2}x^2 - 3x + C

$$$$

次に、$F(1) = 1$ という条件を使って積分定数 $C$ を求めます。

$$$$

F(1) = 2(1)^3 - \frac{7}{2}(1)^2 - 3(1) + C = 2 - \frac{7}{2} - 3 + C = -\frac{3}{2} - 3 + C = -\frac{5}{2} + C= 1

$$$$

$$$$

C = 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}

$$$$

したがって、$C = \frac{7}{2}$ なので、

$$$$

F(x) = 2x^3 - \frac{7}{2}x^2 - 3x + \frac{7}{2}

$$$$

3. 最終的な答え

$F(x) = 2x^3 - \frac{7}{2}x^2 - 3x + \frac{7}{2}$