問題3の(1)、(3)と問題4の(1)を解きます。 問題3 (1): 定積分 $\int_0^1 (2x-1) dx$ を計算する。 問題3 (3): 定積分 $\int_0^1 x(x-1) dx$ を計算する。 問題4 (1): 曲線 $y = 9-x^2$ と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

問題3の(1)、(3)と問題4の(1)を解きます。

問題3 (1): 定積分 $\int_0^1 (2x-1) dx$ を計算する。

問題3 (3): 定積分 $\int_0^1 x(x-1) dx$ を計算する。

問題4 (1): 曲線 $y = 9-x^2$ と $x$軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

問題3 (1):

1. 不定積分を計算します。

$\int (2x-1) dx = x^2 - x + C$

2. 定積分を計算します。

$\int_0^1 (2x-1) dx = [x^2 - x]_0^1 = (1^2 - 1) - (0^2 - 0) = 0$

問題3 (3):

1. 積分の中身を展開します。

$x(x-1) = x^2 - x$

2. 不定積分を計算します。

$\int (x^2 - x) dx = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + C$

3. 定積分を計算します。

$\int_0^1 x(x-1) dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2]_0^1 = (\frac{1}{3}(1)^3 - \frac{1}{2}(1)^2) - (\frac{1}{3}(0)^3 - \frac{1}{2}(0)^2) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2-3}{6} = -\frac{1}{6}$

問題4 (1):

1. $y = 9-x^2$ と $x$軸との交点を求めます。

$9 - x^2 = 0$ を解くと $x^2 = 9$ より $x = \pm 3$。

2. $y = 9-x^2$ は $x$軸の上側にあるので、面積 $S$ は

$S = \int_{-3}^3 (9-x^2) dx = [9x - \frac{1}{3}x^3]_{-3}^3 = (9(3) - \frac{1}{3}(3)^3) - (9(-3) - \frac{1}{3}(-3)^3) = (27 - 9) - (-27 - (-9)) = 18 - (-18) = 36$

3. 最終的な答え

問題3 (1): 0

問題3 (3): $-\frac{1}{6}$

問題4 (1): 36