階差数列の一般項 $b_n = 2n$ で与えられ、初項が $a_1 = 2$ である数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

階差数列の一般項 $b_n = 2n$ で与えられ、初項が $a_1 = 2$ である数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $\{b_n\}$ であるとき、

$n \ge 2$ のとき、数列の一般項 $a_n$ は次の式で表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

問題文より、$a_1 = 2$ および $b_n = 2n$ であるから、これを上記の式に代入します。

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k$

$\sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2\sum_{k=1}^{n-1} k$

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

したがって、

$a_n = 2 + 2\frac{(n-1)n}{2}$

$a_n = 2 + n(n-1)$

$a_n = 2 + n^2 - n$

$a_n = n^2 - n + 2$

これは $n \ge 2$ のとき成り立つ。

$n = 1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 + 2 = 2$ となり、$a_1 = 2$ に一致するため、

$a_n = n^2 - n + 2$ はすべての $n \ge 1$ で成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 - n + 2$