(1) 次の直線と放物線を、$x$軸方向に$-3$、$y$軸方向に$1$だけ平行移動して得られる直線と放物線の方程式を求める。 (ア) 直線 $y = 2x - 3$ (イ) 放物線 $y = -x^2 + x - 2$ (2) $x$軸方向に$2$、$y$軸方向に$-1$だけ平行移動すると、放物線 $y = -2x^2 + 3$ に重なるような放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 次の直線と放物線を、$x$軸方向に$-3$、$y$軸方向に$1$だけ平行移動して得られる直線と放物線の方程式を求める。

(ア) 直線 $y = 2x - 3$

(イ) 放物線 $y = -x^2 + x - 2$

(2) $x$軸方向に$2$、$y$軸方向に$-1$だけ平行移動すると、放物線 $y = -2x^2 + 3$ に重なるような放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動の公式を使う。

$x$軸方向に$p$、$y$軸方向に$q$だけ平行移動するとき、

$x \rightarrow x - p$

$y \rightarrow y - q$

とおく。

(ア) $y = 2x - 3$ を $x$軸方向に$-3$、$y$軸方向に$1$だけ平行移動する。

$x \rightarrow x - (-3) = x + 3$

$y \rightarrow y - 1$

よって、

$y - 1 = 2(x + 3) - 3$

$y - 1 = 2x + 6 - 3$

$y = 2x + 3 + 1$

$y = 2x + 4$

(イ) $y = -x^2 + x - 2$ を $x$軸方向に$-3$、$y$軸方向に$1$だけ平行移動する。

$x \rightarrow x - (-3) = x + 3$

$y \rightarrow y - 1$

よって、

$y - 1 = -(x + 3)^2 + (x + 3) - 2$

$y - 1 = -(x^2 + 6x + 9) + x + 3 - 2$

$y - 1 = -x^2 - 6x - 9 + x + 1$

$y = -x^2 - 5x - 8 + 1$

$y = -x^2 - 5x - 7$

(2) 求める放物線の方程式を $y = f(x)$ とする。

$y = f(x)$ を $x$軸方向に$2$、$y$軸方向に$-1$だけ平行移動すると $y = -2x^2 + 3$ となるので、

$y + 1 = f(x - 2)$

$f(x - 2) = -2x^2 + 3$

この式で、$x$ を $x + 2$ に置き換えると、

$f(x) = -2(x + 2)^2 + 3$

$f(x) = -2(x^2 + 4x + 4) + 3$

$f(x) = -2x^2 - 8x - 8 + 3$

$f(x) = -2x^2 - 8x - 5$

よって、求める放物線の方程式は $y = -2x^2 - 8x - 5$

3. 最終的な答え

(1) (ア) $y = 2x + 4$

(イ) $y = -x^2 - 5x - 7$

(2) $y = -2x^2 - 8x - 5$