数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^3 + 3n$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^3 + 3n$ で与えられているとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$n \geq 2$ のとき、一般項 $a_n$ は $S_n$ と $S_{n-1}$ の差として求めることができます。つまり、$a_n = S_n - S_{n-1}$ です。

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1$ です。

(1) $n \geq 2$ のとき

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$= (n^3 + 3n) - ((n-1)^3 + 3(n-1))$

$= n^3 + 3n - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + 3n - 3)$

$= n^3 + 3n - n^3 + 3n^2 - 6n + 4$

$= 3n^2 - 3n + 4$

(2) $n = 1$ のとき

$a_1 = S_1 = 1^3 + 3 \cdot 1 = 1 + 3 = 4$

$n \geq 2$ で求めた式に $n = 1$ を代入すると、

$3(1)^2 - 3(1) + 4 = 3 - 3 + 4 = 4$

したがって、$n = 1$ のときも $a_n = 3n^2 - 3n + 4$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 3n^2 - 3n + 4$