次の2次関数のグラフを書き、それぞれの放物線が上に凸か下に凸かを答えます。 (1) $y = \frac{2}{3}x^2$ (2) $y = -2x^2$

1. 問題の内容

次の2次関数のグラフを書き、それぞれの放物線が上に凸か下に凸かを答えます。

(1) $y = \frac{2}{3}x^2$

(2) $y = -2x^2$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{2}{3}x^2$ のグラフ

この関数は $y = ax^2$ の形で、頂点が原点(0, 0)の放物線です。

$a = \frac{2}{3}$ であり、$a > 0$ なので、グラフは下に凸です。

いくつかの代表的な点を計算します。

$x = 0$ のとき、$y = \frac{2}{3}(0)^2 = 0$

$x = 1$ のとき、$y = \frac{2}{3}(1)^2 = \frac{2}{3}$

$x = -1$ のとき、$y = \frac{2}{3}(-1)^2 = \frac{2}{3}$

$x = 3$ のとき、$y = \frac{2}{3}(3)^2 = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$

$x = -3$ のとき、$y = \frac{2}{3}(-3)^2 = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$

これらの点(0, 0), (1, 2/3), (-1, 2/3), (3, 6), (-3, 6)を通る下に凸の放物線を描きます。

(2) $y = -2x^2$ のグラフ

この関数は $y = ax^2$ の形で、頂点が原点(0, 0)の放物線です。

$a = -2$ であり、$a < 0$ なので、グラフは上に凸です。

いくつかの代表的な点を計算します。

$x = 0$ のとき、$y = -2(0)^2 = 0$

$x = 1$ のとき、$y = -2(1)^2 = -2$

$x = -1$ のとき、$y = -2(-1)^2 = -2$

$x = 2$ のとき、$y = -2(2)^2 = -2 \cdot 4 = -8$

$x = -2$ のとき、$y = -2(-2)^2 = -2 \cdot 4 = -8$

これらの点(0, 0), (1, -2), (-1, -2), (2, -8), (-2, -8)を通る上に凸の放物線を描きます。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{2}{3}x^2$ のグラフは、下に凸の放物線。

(2) $y = -2x^2$ のグラフは、上に凸の放物線。