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問題29：2次関数 $y = 2x^2 - 8x + 5$ のグラフを平行移動して、2次関数 $y = 2x^2 + 12x + 7$ のグラフに重ねるには、どのように平行移動すればよいかを求める。 問題30：2次関数 $y = -x^2 + 2x$ のグラフを、x軸方向に2、y軸方向に-5だけ平行移動した放物線の方程式を求める。

代数学二次関数平行移動平方完成グラフ
2025/8/15

1. 問題の内容

問題29：2次関数 y=2x2−8x+5y = 2x^2 - 8x + 5 のグラフを平行移動して、2次関数 y=2x2+12x+7y = 2x^2 + 12x + 7 のグラフに重ねるには、どのように平行移動すればよいかを求める。
問題30：2次関数 y=−x2+2xy = -x^2 + 2x のグラフを、x軸方向に2、y軸方向に-5だけ平行移動した放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

問題29：
* まず、それぞれの2次関数を平方完成する。
y=2x2−8x+5=2(x2−4x)+5=2(x2−4x+4−4)+5=2(x−2)2−8+5=2(x−2)2−3y = 2x^2 - 8x + 5 = 2(x^2 - 4x) + 5 = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5 = 2(x - 2)^2 - 8 + 5 = 2(x - 2)^2 - 3
y=2x2+12x+7=2(x2+6x)+7=2(x2+6x+9−9)+7=2(x+3)2−18+7=2(x+3)2−11y = 2x^2 + 12x + 7 = 2(x^2 + 6x) + 7 = 2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 7 = 2(x + 3)^2 - 18 + 7 = 2(x + 3)^2 - 11
* 次に、平行移動の量を求める。
y=2(x−2)2−3y = 2(x - 2)^2 - 3 を x軸方向に a, y軸方向に b だけ平行移動すると
y−b=2(x−a−2)2−3y - b = 2(x - a - 2)^2 - 3 となる。
y=2(x−(a+2))2−3+by = 2(x - (a+2))^2 - 3 + b
この式が y=2(x+3)2−11y = 2(x + 3)^2 - 11 と一致すればよい。
したがって、
a+2=−3a + 2 = -3 より a=−5a = -5
−3+b=−11-3 + b = -11 より b=−8b = -8
問題30：
* x軸方向に2, y軸方向に-5だけ平行移動するので、平行移動後の放物線の方程式は、
y+5=−(x−2)2+2(x−2)y + 5 = -(x - 2)^2 + 2(x - 2) となる。
* これを整理する。
y+5=−(x2−4x+4)+2x−4=−x2+4x−4+2x−4=−x2+6x−8y + 5 = -(x^2 - 4x + 4) + 2x - 4 = -x^2 + 4x - 4 + 2x - 4 = -x^2 + 6x - 8
y=−x2+6x−8−5=−x2+6x−13y = -x^2 + 6x - 8 - 5 = -x^2 + 6x - 13

3. 最終的な答え

問題29：x軸方向に -5, y軸方向に -8 だけ平行移動すればよい。
問題30：y=−x2+6x−13y = -x^2 + 6x - 13