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関数 $f(x) = 2x^2 + 3mx - 2m$ について、区間 $0 \le x \le 1$ における最小値を $g$ とする。$g$ を $m$ を用いて表し、$m$ がすべての実数をとるとき、$g$ の最大値を求めよ。

代数学二次関数最大最小場合分け平方完成
2025/8/15

1. 問題の内容

関数 f(x)=2x2+3mx−2mf(x) = 2x^2 + 3mx - 2m について、区間 0≤x≤10 \le x \le 1 における最小値を gg とする。gg を mm を用いて表し、mm がすべての実数をとるとき、gg の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 f(x)f(x) を平方完成する。
f(x)=2(x2+32mx)−2mf(x) = 2(x^2 + \frac{3}{2}mx) - 2m
f(x)=2(x+34m)2−2(34m)2−2mf(x) = 2(x + \frac{3}{4}m)^2 - 2(\frac{3}{4}m)^2 - 2m
f(x)=2(x+34m)2−98m2−2mf(x) = 2(x + \frac{3}{4}m)^2 - \frac{9}{8}m^2 - 2m
軸は x=−34mx = -\frac{3}{4}m である。
場合分けをする。
(i) −34m<0-\frac{3}{4}m < 0 のとき、つまり m>0m > 0 のとき。
区間 [0,1][0, 1] で f(x)f(x) は増加関数であるため、最小値は f(0)f(0) となる。
g=f(0)=−2mg = f(0) = -2m
(ii) 0≤−34m≤10 \le -\frac{3}{4}m \le 1 のとき、つまり −43≤m≤0-\frac{4}{3} \le m \le 0 のとき。
最小値は頂点の yy 座標になる。
g=−98m2−2mg = -\frac{9}{8}m^2 - 2m
(iii) −34m>1-\frac{3}{4}m > 1 のとき、つまり m<−43m < -\frac{4}{3} のとき。
区間 [0,1][0, 1] で f(x)f(x) は減少関数であるため、最小値は f(1)f(1) となる。
g=f(1)=2+3m−2m=m+2g = f(1) = 2 + 3m - 2m = m + 2
したがって、
$g = \begin{cases}
-2m & (m > 0) \\
-\frac{9}{8}m^2 - 2m & (-\frac{4}{3} \le m \le 0) \\
m+2 & (m < -\frac{4}{3})
\end{cases}$
次に、gg の最大値を求める。
(i) m>0m > 0 のとき、g=−2mg = -2m は単調減少であるため、最大値は存在しない。
(ii) −43≤m≤0-\frac{4}{3} \le m \le 0 のとき、g=−98m2−2mg = -\frac{9}{8}m^2 - 2m を考える。
g=−98(m2+169m)g = -\frac{9}{8}(m^2 + \frac{16}{9}m)
g=−98(m+89)2+98(89)2g = -\frac{9}{8}(m + \frac{8}{9})^2 + \frac{9}{8}(\frac{8}{9})^2
g=−98(m+89)2+89g = -\frac{9}{8}(m + \frac{8}{9})^2 + \frac{8}{9}
軸は m=−89m = -\frac{8}{9} であり、−43≤−89≤0-\frac{4}{3} \le -\frac{8}{9} \le 0 を満たす。
よって、m=−89m = -\frac{8}{9} のとき、最大値は 89\frac{8}{9} である。
(iii) m<−43m < -\frac{4}{3} のとき、g=m+2g = m+2 は単調増加である。
m=−43m = -\frac{4}{3} のとき、g=−43+2=23g = -\frac{4}{3} + 2 = \frac{2}{3}
g=23<89g = \frac{2}{3} < \frac{8}{9}
したがって、gg の最大値は 89\frac{8}{9} である。

3. 最終的な答え

$g = \begin{cases}
-2m & (m > 0) \\
-\frac{9}{8}m^2 - 2m & (-\frac{4}{3} \le m \le 0) \\
m+2 & (m < -\frac{4}{3})
\end{cases}$
gg の最大値は 89\frac{8}{9}