与えられた式を計算し、簡略化せよ。式は次の通りです。 $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{27}} - \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{8} + \sqrt{48}}$

1. 問題の内容

与えられた式を計算し、簡略化せよ。式は次の通りです。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} - \sqrt{27}} - \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{8} + \sqrt{48}}$

2. 解き方の手順

まず、分母の根号を簡略化します。

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$

したがって、与えられた式は以下のようになります。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} - 3\sqrt{3}} - \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}$

次に、それぞれの分数を有理化します。

最初の分数について、分母と分子に $(\sqrt{6} + 3\sqrt{3})$ を掛けます。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6} - 3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{6} + 3\sqrt{3})}{(\sqrt{6} - 3\sqrt{3})(\sqrt{6} + 3\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{18} + 18}{6 - 27} = \frac{2\sqrt{9 \times 2} + 18}{-21} = \frac{6\sqrt{2} + 18}{-21} = \frac{2\sqrt{2} + 6}{-7}$

2番目の分数について、分母と分子に $(2\sqrt{2} - 4\sqrt{3})$ を掛けます。

$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{2} + 4\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}(2\sqrt{2} - 4\sqrt{3})}{(2\sqrt{2} + 4\sqrt{3})(2\sqrt{2} - 4\sqrt{3})} = \frac{8\sqrt{6} - 48}{8 - 48} = \frac{8\sqrt{6} - 48}{-40} = \frac{2\sqrt{6} - 12}{-10} = \frac{\sqrt{6} - 6}{-5}$

したがって、与えられた式は以下のようになります。

$\frac{2\sqrt{2} + 6}{-7} - \frac{\sqrt{6} - 6}{-5} = \frac{-2\sqrt{2} - 6}{7} + \frac{\sqrt{6} - 6}{5} = \frac{5(-2\sqrt{2} - 6) + 7(\sqrt{6} - 6)}{35} = \frac{-10\sqrt{2} - 30 + 7\sqrt{6} - 42}{35} = \frac{-10\sqrt{2} + 7\sqrt{6} - 72}{35}$

3. 最終的な答え

$\frac{-10\sqrt{2} + 7\sqrt{6} - 72}{35}$