$\int_{0}^{\log 2} e^{3x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\log 2} e^{3x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$e^{3x}$ の不定積分を計算します。

$u = 3x$ と置換すると、$du = 3dx$ となり、$dx = \frac{1}{3} du$ です。

したがって、

$$\int e^{3x} dx = \int e^u \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int e^u du = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{3x} + C$$

次に、定積分を計算します。

$$\int_{0}^{\log 2} e^{3x} dx = \left[ \frac{1}{3} e^{3x} \right]_{0}^{\log 2} = \frac{1}{3} e^{3 \log 2} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0}$$

ここで、$e^{3 \log 2} = e^{\log 2^3} = e^{\log 8} = 8$ であり、$e^{3 \cdot 0} = e^0 = 1$ です。

したがって、

$$\frac{1}{3} e^{3 \log 2} - \frac{1}{3} e^{3 \cdot 0} = \frac{1}{3} (8) - \frac{1}{3} (1) = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{3}$