$\triangle OP_1P_2$ は二等辺三角形であり、$\angle O = \angle P_1 = \theta$、$OP_1 = 1$とする。直線 $OP_1$ 上に点 $P_3$ を $\angle OP_2P_3 = \theta$ となるように取る。次に、直線 $OP_2$ 上に点 $P_4$ を $\angle OP_3P_4 = \theta$ となるように取る。以下、同様に点 $P_5, P_6, \dots$ を取る。 (1) $P_nP_{n+1}$ の長さを求めよ。 (2) 無限級数 $P_1P_2 + P_2P_3 + \dots + P_nP_{n+1} + \dots$ が収束する $\theta$ の値の範囲を求め、そのときの和を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OP_1P_2$ は二等辺三角形であり、$\angle O = \angle P_1 = \theta$、$OP_1 = 1$とする。直線 $OP_1$ 上に点 $P_3$ を $\angle OP_2P_3 = \theta$ となるように取る。次に、直線 $OP_2$ 上に点 $P_4$ を $\angle OP_3P_4 = \theta$ となるように取る。以下、同様に点 $P_5, P_6, \dots$ を取る。

(1) $P_nP_{n+1}$ の長さを求めよ。

(2) 無限級数 $P_1P_2 + P_2P_3 + \dots + P_nP_{n+1} + \dots$ が収束する $\theta$ の値の範囲を求め、そのときの和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$OP_1 = 1$ であり、$\triangle OP_1P_2$ が二等辺三角形なので、$OP_2 = OP_1 = 1$。$\angle OP_1P_2 = \theta$ なので、$\angle P_1OP_2 = \theta$。よって、$\angle OP_2P_1 = \pi - 2\theta$。

$P_1P_2 = 2OP_1 \sin(\frac{\theta}{2}) = 2 \sin(\frac{\theta}{2})$。

$\angle OP_2P_3 = \theta$ なので、$\angle P_2P_3O = \pi - 2\theta$。すると、$\angle P_2P_3O + \angle P_3P_2O = (\pi-2\theta)+\theta = \pi-\theta$.

同様に、$P_2P_3 = OP_2 * ( \frac{\sin \theta}{\sin (\pi -2\theta)})$

$\triangle OP_nP_{n+1}$ は二等辺三角形なので、$OP_n = OP_{n+1}$

$\angle OP_nP_{n+1} = \theta$であるので、$\angle P_nOP_{n+1} = \theta$。

$OP_{n+1} = OP_n \cdot \frac{\sin(\angle OP_nP_{n+1})}{\sin (\angle P_n+1P_nO)} = OP_n$

$OP_1 = 1$, $OP_2 = OP_1$, $OP_3 = OP_2 \cos \theta$。

$OP_1=1$

$P_1P_2 = 2 sin \frac{\theta}{2}$

$P_2P_3 = OP_2 \frac{\sin \theta}{\sin (\pi - 2\theta)} = \frac{\sin \theta}{\sin (2\theta)} = \frac{1}{2\cos \theta}$

$OP_{n+1} = OP_n \frac{\sin \theta}{\sin (2\theta)}$

$P_nP_{n+1} = ( \frac{1}{2 cos \theta})^{n-1} 2 sin(\theta / 2)$

別の方法:

$OP_1 = 1$ であり、$\angle O = \angle P_1 = \theta$ なので、$\angle OP_2P_1 = \pi - 2\theta$。よって、$\angle OP_2P_3 = \theta$ なので、$\angle P_2P_3O = \pi-2\theta$.

$OP_2 = 1$. $\triangle OP_2P_3$ において、$\angle P_2OP_3 = \theta$.

$P_1P_2 = 2\sin(\theta/2)$

$OP_{n+1} = OP_n \cos \theta$.

$OP_n = (\cos \theta)^{n-1}$

$P_nP_{n+1} = OP_n \frac{\sin \theta}{\sin (\pi -2\theta)} = (cos \theta)^{n-1} \frac{\sin \theta}{ \sin 2\theta} = (\cos \theta)^{n-1} \frac{\sin \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{2} (\cos \theta)^{n-2}$.

(2)

無限級数 $P_1P_2 + P_2P_3 + P_3P_4 + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} P_nP_{n+1}$ が収束するための条件は、$\lim_{n\to \infty} P_nP_{n+1} = 0$ となること。$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2} (\cos \theta)^{n-2})$ が収束する条件は、$|\cos \theta| < 1$。

したがって、$\theta \neq n \pi$, $n \in Z$。また、$0 < \theta < \pi/2$。

級数の和は、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} (\cos \theta)^{n-2} = \frac{1}{2(\cos \theta)^{-1}} \frac{1}{1-\cos \theta} = \frac{1}{2(\cos \theta)^{-1}(1 - \cos \theta)} = \frac{1}{2(\cos \theta - \cos^2 \theta)}$

$P_1P_2 = 2 sin(\theta/2)$, $\theta \in (0, \pi)$.

$\sum_{n=1}^\infty P_n P_{n+1} = P_1 P_2 + \sum_{n=2}^\infty P_n P_{n+1} = 2\sin \frac{\theta}{2} + \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2} (\cos \theta)^{n-2} = 2 \sin \frac{\theta}{2} + \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty (\cos \theta)^n = 2\sin \frac{\theta}{2} + \frac{1}{2(1-\cos \theta)}$

収束条件は $|\cos \theta| < 1$, つまり $\theta \neq k\pi$ (k は整数)。

このとき、級数の和は $2 \sin \frac{\theta}{2} + \frac{1}{2(1 - \cos \theta)} = 2 \sin \frac{\theta}{2} + \frac{1}{4 \sin^2 \frac{\theta}{2}}$.

3. 最終的な答え

(1) $P_nP_{n+1} = \frac{1}{2} (\cos \theta)^{n-2}$.

(2) $P_1P_2 + P_2P_3 + \dots$ が収束する $\theta$ の範囲は $\theta \neq k \pi$, $k \in Z$。このときの和は $2 \sin \frac{\theta}{2} + \frac{1}{4 \sin^2 \frac{\theta}{2}}$.