ひし形ABCDにおいて、対角線は座標軸に平行で、点Aの座標が$(-1, -2)$、点Bの座標が$(3, -10)$、原点Oは辺AD上にある。 (1) 点Dの座標を求める。 (2) ひし形ABCDの面積を求める。 (3) 原点Oを通り、ひし形ABCDの面積を2等分する直線の式を求める。

1. 問題の内容

ひし形ABCDにおいて、対角線は座標軸に平行で、点Aの座標が$(-1, -2)$、点Bの座標が$(3, -10)$、原点Oは辺AD上にある。

(1) 点Dの座標を求める。

(2) ひし形ABCDの面積を求める。

(3) 原点Oを通り、ひし形ABCDの面積を2等分する直線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点Dの座標を求める。

ひし形ABCDの対角線は座標軸に平行なので、ACは水平、BDは垂直である。

ひし形の対角線は互いの中点で交わる。その交点をMとする。

MはACの中点であり、BDの中点でもある。

Aの座標が$(-1, -2)$、Bの座標が$(3, -10)$なので、Mの座標は

$M = (\frac{-1+x_C}{2}, \frac{-2+y_C}{2}) = (\frac{3+(-1)}{2}, \frac{-10+y_D}{2})$。

$x$座標より、$\frac{-1+x_C}{2} = 1$なので、$x_C = 3$。

$y$座標より、$\frac{-2+y_C}{2} = \frac{-10+y_D}{2}$なので、$y_C = -10 + y_D + 2 = y_D - 8$。

また、ACは水平なので、$y_C = y_A = -2$。

したがって、$-2 = y_D - 8$より、$y_D = 6$。

また、BDは垂直なので、$x_D = x_B = 3$。

したがって、Dの座標は$(3, 6)$。

(2) ひし形ABCDの面積を求める。

ACの長さは、$3 - (-1) = 4$。

BDの長さは、$6 - (-10) = 16$。

ひし形の面積は、対角線 $\times$ 対角線 $\times \frac{1}{2}$ なので、

$4 \times 16 \times \frac{1}{2} = 32$。

ひし形ABCDの面積は32。

(3) 原点Oを通り、ひし形ABCDの面積を2等分する直線の式を求める。

ひし形の面積を2等分する直線は、対角線の交点Mを通る。

Mの座標は$(1, -2)$。

原点O(0, 0)と点M(1, -2)を通る直線の式は、

$y = ax$ とおくと、$-2 = a \times 1$ より、$a = -2$。

よって、$y = -2x$。

3. 最終的な答え

(1) 点Dの座標：(3, 6)

(2) ひし形ABCDの面積：32

(3) 原点Oを通り、ひし形ABCDの面積を2等分する直線の式：$y = -2x$