曲線 $y = 2x^2 + 1$ に、点 $(1, -5)$ から引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = 2x^2 + 1$ に、点 $(1, -5)$ から引いた接線の方程式と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 接点の座標を $(t, 2t^2 + 1)$ とおく。

(2) $y = 2x^2 + 1$ を微分して、導関数を求める。

$y' = 4x$

(3) したがって、接線の方程式は

$y - (2t^2 + 1) = 4t(x - t)$

$y = 4tx - 4t^2 + 2t^2 + 1$

$y = 4tx - 2t^2 + 1$

(4) この接線が点 $(1, -5)$ を通るので、

$-5 = 4t(1) - 2t^2 + 1$

$2t^2 - 4t - 6 = 0$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t - 3)(t + 1) = 0$

$t = 3, -1$

(5) $t = 3$ のとき、接点の座標は $(3, 2(3)^2 + 1) = (3, 19)$。接線の方程式は $y = 4(3)x - 2(3)^2 + 1 = 12x - 18 + 1 = 12x - 17$。

(6) $t = -1$ のとき、接点の座標は $(-1, 2(-1)^2 + 1) = (-1, 3)$。接線の方程式は $y = 4(-1)x - 2(-1)^2 + 1 = -4x - 2 + 1 = -4x - 1$。

3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = 12x - 17$ で、接点の座標は $(3, 19)$。

または、接線の方程式は $y = -4x - 1$ で、接点の座標は $(-1, 3)$。