台形ABCDにおいて、AB//DCであり、A(4, 0), B(0, 4), C(-8, 0)である。 (1) 点Dの座標を求めよ。 (2) 台形ABCDの面積を求めよ。 (3) 点Bを通り、台形ABCDの面積を2等分する直線の式を求めよ。 (4) 点(3, 1)を通り、台形ABCDの面積を2等分する直線の式を求めよ。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AB//DCであり、A(4, 0), B(0, 4), C(-8, 0)である。

(1) 点Dの座標を求めよ。

(2) 台形ABCDの面積を求めよ。

(3) 点Bを通り、台形ABCDの面積を2等分する直線の式を求めよ。

(4) 点(3, 1)を通り、台形ABCDの面積を2等分する直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Dの座標

台形ABCDにおいて、AB//DCである。ABとDCは平行なので、点Dはy軸上にあり、点Dのx座標は0である。

線分ABと線分DCの中点は一致する。線分ABの中点は$((4+0)/2, (0+4)/2) = (2, 2)$。

線分DCの中点を(x, y)とすると、$((x-8)/2, (y+0)/2) = (2, 2)$。

よって、$x-8=4$、$y=4$。したがって、$x=12$、$y=4$。Dの座標は$(0, -4)$

(2) 台形ABCDの面積

台形の面積は、(上底+下底) × 高さ ÷ 2 で求められる。

上底ABの長さは$\sqrt{(4-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。

下底CDの長さは$\sqrt{(-8-0)^2 + (0-(-4))^2} = \sqrt{64+16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$。

高さはAから直線CDまでの距離で、y軸までの距離を考えると、高さを8+4=12とすると、間違えることに注意する。この問題では、台形の高さはy軸からx軸までの距離で4と考える。

従って、台形の面積は、$(4\sqrt{2} + 4\sqrt{5}) * 高さ(x軸からの距離) /2$ではない。

A(4, 0), B(0, 4), C(-8, 0), D(0, -4)

台形ABCDの面積を計算するには、台形を２つの三角形に分割して考える。

三角形ABCの面積は、$1/2 * |4*(0-0) + (-8)*(0-4) + 0*(4-0)| = 1/2 * |0+32+0| = 16$

三角形ACDの面積は、$1/2 * |4*(0-(-4)) + 0*(0-0) + (-8)*(-4-0)| = 1/2 * |16+0+32| = 24$

従って台形ABCDの面積は、$16+24=40$

(3) 点Bを通り、台形ABCDの面積を2等分する直線の式

台形ABCDの面積は40なので、面積を2等分する直線は面積20の図形を作る。

台形ABCDの面積を2等分する直線は、台形の対角線の中点を通る。台形ABCDの中心は、対角線ACとBDの中点である。

ACの中点は$((4-8)/2, (0+0)/2) = (-2, 0)$。

BDの中点は$((0+0)/2, (4-4)/2) = (0, 0)$。

この問題では、台形ABCDの中心は対角線の中点ではない。

面積を2等分する直線は、台形の重心を通る。

面積を2等分する直線はB(0, 4)を通るので、

この直線は、線分CDの中点を通る。線分CDの中点は((-8+0)/2, (0-4)/2) = (-4, -2)。

従って、2点B(0, 4)と(-4, -2)を通る直線の式を求める。

傾きは$(4-(-2))/(0-(-4)) = 6/4 = 3/2$。

切片は4なので、直線の式は$y = \frac{3}{2}x + 4$

(4) 点(3, 1)を通り、台形ABCDの面積を2等分する直線の式

台形の重心を通る直線。台形の重心は、対角線の中点の交点。

対角線ACの中点は((-8+4)/2, (0+0)/2) = (-2, 0)

対角線BDの中点は((0+0)/2, (4-4)/2) = (0, 0)

仮に重心が(0,0)とすると、(3, 1)を通るので、

傾きは1/3。従って$y = \frac{1}{3}x$

この問題では台形の重心を求めるのは難しい。重心を通るという仮定は正しくない。台形の面積を二等分する直線は、向かい合う辺の中点を通るとは限らない。

3. 最終的な答え

(1) D(0, -4)

(2) 40

(3) $y = \frac{3}{2}x + 4$

(4) 難しい