台形OABCにおいて、点A(0, 8), 点B(-4, 5), 点C(-4, 1)である。次のものをそれぞれ求める。 (1) 台形OABCの面積 (2) 点Cを通り、台形OABCの面積を2等分する直線の式 (3) 原点Oを通り、台形OABCの面積を2等分する直線の式

(1) 台形OABCの面積を求める。

台形の面積は、（上底 + 下底）× 高さ ÷ 2 で求められる。

上底はOAであり、その長さは8。下底はBCであり、その長さは5-1=4。高さは、AとCのx座標の差の絶対値であり、0-(-4)=4。

したがって、台形OABCの面積は、

(8 + 4) \times 4 \div 2 = 12 \times 4 \div 2 = 48 \div 2 = 24

(2) 点Cを通り、台形OABCの面積を2等分する直線を求める。

台形OABCの面積の半分は、24 ÷ 2 = 12。

求める直線と辺OAとの交点をD(0, y)とする。台形CDAOの面積が12になればよい。

台形CDAOの面積は、

(y + 1) \times 4 \div 2 = 12

2(y + 1) = 12

y + 1 = 6

y = 5

したがって、点D(0, 5)を通る。

点C(-4, 1)と点D(0, 5)を通る直線の式を求める。

直線の傾きは、

(5 - 1) \div (0 - (-4)) = 4 \div 4 = 1

切片は5なので、求める直線の方程式は、

y = x + 5

(3) 原点Oを通り、台形OABCの面積を2等分する直線を求める。

求める直線と辺ABとの交点をE(x, y)とする。三角形OAEの面積が12になればよい。

直線ABの式は、

傾きは、

(5 - 8) \div (-4 - 0) = -3 \div -4 = 3/4

切片は8なので、

y = \frac{3}{4}x + 8

三角形OAEの面積は、

\frac{1}{2} \times 8 \times |x| = 12

4|x| = 12

|x| = 3

xは負なので、

x = -3

y = \frac{3}{4}(-3) + 8 = -\frac{9}{4} + \frac{32}{4} = \frac{23}{4}

したがって、点E(-3, 23/4)を通る。

原点O(0, 0)と点E(-3, 23/4)を通る直線の式を求める。

傾きは、

\frac{23/4 - 0}{-3 - 0} = \frac{23/4}{-3} = -\frac{23}{12}

したがって、求める直線の方程式は、

y = -\frac{23}{12}x

1. 問題の内容