点A(6, 3), B(4, 6)が与えられたとき、次のものを求める。 (1) 直線OAに平行で、点Bを通る直線の式。 (2) △OAB=△OACとなるy軸上の点Cの座標。 (3) △OAB=△OADとなる直線 $y = -x$ 上の点Dの座標。

(1)

まず、直線OAの傾きを求める。

傾き =

\frac{3 - 0}{6 - 0} = \frac{1}{2}

直線OAに平行な直線は傾きが同じである。したがって、求める直線の傾きは

\frac{1}{2}

。

点B(4, 6)を通る直線の式を

y = \frac{1}{2}x + b

とおく。

この式に点Bの座標を代入する。

6 = \frac{1}{2} \times 4 + b

6 = 2 + b

b = 4

したがって、求める直線の式は

y = \frac{1}{2}x + 4

(2)

△OABの面積と△OACの面積が等しくなるようなy軸上の点Cの座標を求める。Cの座標を(0, y)とする。

△OABの面積を求める。O(0, 0), A(6, 3), B(4, 6)。

△OABの面積 =

\frac{1}{2} |(6 \times 6 - 3 \times 4)| = \frac{1}{2} |36 - 12| = \frac{1}{2} \times 24 = 12

△OACの面積を求める。O(0, 0), A(6, 3), C(0, y)。

△OACの面積 =

\frac{1}{2} |6 \times y - 3 \times 0| = \frac{1}{2} |6y| = |3y|

△OAB = △OACなので、

|3y| = 12

3y = 12

または

3y = -12

y = 4

または

y = -4

したがって、Cの座標は(0, 4)または(0, -4)。

(3)

△OABの面積と△OADの面積が等しくなるような直線

y=-x

上の点Dの座標を求める。Dの座標を(x, -x)とする。

△OADの面積を求める。O(0, 0), A(6, 3), D(x, -x)。

△OADの面積 =

\frac{1}{2} |6 \times (-x) - 3 \times x| = \frac{1}{2} |-6x - 3x| = \frac{1}{2} |-9x| = \frac{9}{2} |x|

△OAB = △OADなので、

\frac{9}{2} |x| = 12

|x| = 12 \times \frac{2}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}

x = \frac{8}{3}

または

x = -\frac{8}{3}

したがって、

x = \frac{8}{3}

のとき、

y = -\frac{8}{3}

なので、Dの座標は

(\frac{8}{3}, -\frac{8}{3})

。

x = -\frac{8}{3}

のとき、

y = \frac{8}{3}

なので、Dの座標は

(-\frac{8}{3}, \frac{8}{3})

。

1. 問題の内容