3次関数 $f(x)=x^3-3x^2-6$ と直線 $h(x) = -kx+k$ について、いくつかの問いに答える問題です。具体的には、$f(x)$ の増減、接線の方程式、共有点の座標、線分の長さ、面積の最小値などを求めます。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x)=x^3-3x^2-6$ と直線 $h(x) = -kx+k$ について、いくつかの問いに答える問題です。具体的には、$f(x)$ の増減、接線の方程式、共有点の座標、線分の長さ、面積の最小値などを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 6$

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x=0, 2$

$x=0$ で極大、$x=2$ で極小となる。

$f(0) = -6$ なので極大値は $-6$。

$f(2) = 8 - 12 - 6 = -10$ なので極小値は $-10$。

よって、アには 3、イには 0、ウには -6、エには 2 が入る。

$f(-1) = -1 - 3 - 6 = -10$

$f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9$

よって点 $(-1, -10)$ における接線 $l$ の方程式は

$y - (-10) = 9(x - (-1))$

$y + 10 = 9x + 9$

$y = 9x - 1$

したがって、オには 9、カには -1 が入る。

$g(x) = 9x - 1$

$f(x) = g(x)$ の解を求める。

$x^3 - 3x^2 - 6 = 9x - 1$

$x^3 - 3x^2 - 9x - 5 = 0$

$x=-1$ が重解なので、$(x+1)^2$ で割り切れる。

$(x+1)^2(x-5) = 0$

したがって、キには 5 が入る。

$x = -1$ (重解), $5$

$-1 < t < 5$ のとき、

$P$ の $y$ 座標は $f(t) = t^3 - 3t^2 - 6$

$Q$ の $y$ 座標は $g(t) = 9t - 1$

$PQ$ の長さ $L(t)$ は $L(t) = |f(t) - g(t)|$

$f(t) - g(t) = t^3 - 3t^2 - 6 - (9t - 1) = t^3 - 3t^2 - 9t - 5 = (t+1)^2(t-5) < 0$

$L(t) = g(t) - f(t) = -t^3 + 3t^2 + 9t + 5$

$L'(t) = -3t^2 + 6t + 9 = -3(t^2 - 2t - 3) = -3(t-3)(t+1)$

$-1 < t < 5$ で $L'(t) = 0$ となるのは $t=3$

$L(3) = -27 + 27 + 27 + 5 = 32$

$L(-1) = 0, L(5) = 0$

したがって、クには ②、$L(t)$ の最大値は 32 なので、ケコには 32 が入る。

(2) $h(x) = -kx+k$

$D$ と $x$ 軸の交点は $-kx+k = 0$ より $x=1$ なので $A(1, 0)$

$D$ と $x$ 軸の負の交点は $x=-(1/k)$ なので $B(-(1/k), 0)$

$E(0, -1/k)$

曲線Dとx軸で囲まれた図形の面積は

$\int_{-1/k}^1 (-kx+k) dx = [-\frac{kx^2}{2}+kx]_{-1/k}^1 = (-\frac{k}{2} + k) - (-\frac{k}{2k^2} - 1) = \frac{k}{2} + \frac{1}{2k} + 1 = \frac{k}{2} + \frac{1}{2k} + 1$

よって、サには 1、シには 2、セには 1 が入る。

$S = \frac{k}{2} + \frac{1}{2k} + 1$

相加平均と相乗平均の関係から、$\frac{k}{2} + \frac{1}{2k} \ge 2\sqrt{\frac{k}{2} \cdot \frac{1}{2k}} = 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 1$

$S \ge 1+1 = 2$

$S$ が最小となるのは $\frac{k}{2} = \frac{1}{2k}$ すなわち $k^2 = 1$ のとき。$k>0$ より $k=1$。

したがって、ソには 1、タには 2、チには 1、ツには 1 が入る。

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 0

ウ: -6

エ: 2

オ: 9

カ: -1

キ: 5

ク: ②

ケコ: 32

サ: 1

シ: 2

セ: 1

ソ: 1

タ: 2

チ: 1

ツ: 1