定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2+1}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2+1}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{x^2+1}$ の原始関数を求めます。$\frac{1}{x^2+1}$ の原始関数は $\arctan(x)$ であることが知られています。

したがって、

$\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan(x) + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

次に、定積分の定義に従って、積分区間の上限と下限で $\arctan(x)$ の値を計算し、その差を求めます。

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2+1} = [\arctan(x)]_{-1}^{1} = \arctan(1) - \arctan(-1)$

$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ であり、$\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$ であるから、

$\arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$