与えられた式 $(2a+1)^2 (2a-1)^2$ を計算し、最も簡単な形で表現する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(2a+1)^2 (2a-1)^2$ を計算し、最も簡単な形で表現する。

2. 解き方の手順

まず、$(2a+1)$ と $(2a-1)$ の積を計算します。これは和と差の積の公式 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ を利用できます。

$A = 2a$、 $B = 1$ とすると、

$(2a+1)(2a-1) = (2a)^2 - 1^2 = 4a^2 - 1$

したがって、与えられた式は以下のように書き換えられます。

$(2a+1)^2 (2a-1)^2 = [(2a+1)(2a-1)]^2$

上の結果を用いると、

$[(2a+1)(2a-1)]^2 = (4a^2 - 1)^2$

次に、$(4a^2 - 1)^2$ を展開します。二項の平方の公式 $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ を用いると、

$(4a^2 - 1)^2 = (4a^2)^2 - 2(4a^2)(1) + 1^2$

$= 16a^4 - 8a^2 + 1$

3. 最終的な答え

$16a^4 - 8a^2 + 1$