問題136は、数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 3^n$（$n = 1, 2, 3, \dots$）によって定められるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

問題136は、数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 3^n$（$n = 1, 2, 3, \dots$）によって定められるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式を $3^{n+1}$ で割ります。

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{3a_n}{3^{n+1}} + \frac{3^n}{3^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{a_n}{3^n} + \frac{1}{3}$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、上の式は

$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{3}$

これは、数列 $\{b_n\}$ が公差 $\frac{1}{3}$ の等差数列であることを示しています。初項 $b_1$ は、$b_1 = \frac{a_1}{3^1} = \frac{1}{3}$ です。したがって、数列 $\{b_n\}$ の一般項は

$b_n = b_1 + (n-1) \cdot \frac{1}{3}$

$b_n = \frac{1}{3} + \frac{n-1}{3} = \frac{n}{3}$

$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ であったので、$a_n = 3^n b_n = 3^n \cdot \frac{n}{3} = n \cdot 3^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = n \cdot 3^{n-1}$