関数 $f(x) = x^2 + px + q$ （$-1 \le x \le 2$）の最小値が0以上となるような点 $(p, q)$ 全体からなる領域を $D$ とする。 (1) $pq$ 平面上に領域 $D$ を図示せよ。 (2) $D$ の点 $(p, q)$ で $q \le 5$ を満たすもの全体のなす図形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + px + q$ （$-1 \le x \le 2$）の最小値が0以上となるような点 $(p, q)$ 全体からなる領域を $D$ とする。

(1) $pq$ 平面上に領域 $D$ を図示せよ。

(2) $D$ の点 $(p, q)$ で $q \le 5$ を満たすもの全体のなす図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = (x + \frac{p}{2})^2 - \frac{p^2}{4} + q$

軸 $x = -\frac{p}{2}$ の位置によって、最小値をとる $x$ の値が変わります。場合分けをして考えます。

(i) $-\frac{p}{2} \le -1$ つまり $p \ge 2$ のとき

$x = -1$ で最小値をとるので、

$f(-1) = (-1)^2 + p(-1) + q = 1 - p + q \ge 0$

よって $q \ge p - 1$

(ii) $-1 < -\frac{p}{2} < 2$ つまり $-4 < p < 2$ のとき

$x = -\frac{p}{2}$ で最小値をとるので、

$f(-\frac{p}{2}) = (-\frac{p}{2})^2 + p(-\frac{p}{2}) + q = \frac{p^2}{4} - \frac{p^2}{2} + q = -\frac{p^2}{4} + q \ge 0$

よって $q \ge \frac{p^2}{4}$

(iii) $-\frac{p}{2} \ge 2$ つまり $p \le -4$ のとき

$x = 2$ で最小値をとるので、

$f(2) = 2^2 + p(2) + q = 4 + 2p + q \ge 0$

よって $q \ge -2p - 4$

(1) 上記の3つの場合分けから、$pq$平面上の領域Dを図示します。

領域は以下の不等式で表されます。

$p \ge 2$ のとき $q \ge p - 1$

$-4 < p < 2$ のとき $q \ge \frac{p^2}{4}$

$p \le -4$ のとき $q \ge -2p - 4$

(2) 領域Dの点 $(p, q)$ で $q \le 5$ を満たす部分の面積を求めます。

$p \ge 2$ のとき、$p - 1 \le q \le 5$ より、 $p \le 6$ なので、$2 \le p \le 6$

$-4 < p < 2$ のとき、$\frac{p^2}{4} \le q \le 5$

$p \le -4$ のとき、$-2p - 4 \le q \le 5$ より、$p \ge -\frac{9}{2}$ なので、$-\frac{9}{2} \le p \le -4$

面積は積分を用いて求めます。

$\int_{-9/2}^{-4} (5 - (-2p - 4)) dp + \int_{-4}^{2} (5 - \frac{p^2}{4}) dp + \int_{2}^{6} (5 - (p - 1)) dp$

$= \int_{-9/2}^{-4} (9 + 2p) dp + \int_{-4}^{2} (5 - \frac{p^2}{4}) dp + \int_{2}^{6} (6 - p) dp$

$= [9p + p^2]_{-9/2}^{-4} + [5p - \frac{p^3}{12}]_{-4}^{2} + [6p - \frac{p^2}{2}]_{2}^{6}$

$= (-36 + 16) - (-\frac{81}{2} + \frac{81}{4}) + (10 - \frac{8}{12}) - (-20 + \frac{64}{12}) + (36 - 18) - (12 - 2)$

$= -20 + \frac{81}{4} + 10 - \frac{2}{3} + 20 - \frac{16}{3} + 18 - 10$

$= 18 + \frac{81}{4} - 6$

$= 12 + \frac{81}{4}$

$= \frac{48 + 81}{4}$

$= \frac{129}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{129}{4}$