放物線 $C: y = x^2 - 1$ と、点 $(1, 0)$ における $C$ の接線 $l$ 、および点 $(-1, 0)$ における $C$ の接線 $m$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2 - 1$ と、点 $(1, 0)$ における $C$ の接線 $l$ 、および点 $(-1, 0)$ における $C$ の接線 $m$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $C$ の導関数を求めます。

$y = x^2 - 1$ より、 $y' = 2x$ です。

次に、点 $(1, 0)$ における接線 $l$ の方程式を求めます。

$x = 1$ のとき、$y' = 2(1) = 2$ なので、接線 $l$ の傾きは2です。

よって、接線 $l$ の方程式は、

$y - 0 = 2(x - 1)$

$y = 2x - 2$

です。

次に、点 $(-1, 0)$ における接線 $m$ の方程式を求めます。

$x = -1$ のとき、$y' = 2(-1) = -2$ なので、接線 $m$ の傾きは-2です。

よって、接線 $m$ の方程式は、

$y - 0 = -2(x - (-1))$

$y = -2x - 2$

です。

次に、接線 $l$ と接線 $m$ の交点の座標を求めます。

$2x - 2 = -2x - 2$ を解くと、

$4x = 0$

$x = 0$

$y = 2(0) - 2 = -2$

よって、交点の座標は $(0, -2)$ です。

次に、求める面積 $S$ を計算します。

$S$ は、放物線 $y = x^2 - 1$ と接線 $l, m$ で囲まれた領域の面積です。

$S = \int_{-1}^{0} \{ (x^2 - 1) - (-2x - 2) \} dx + \int_{0}^{1} \{ (x^2 - 1) - (2x - 2) \} dx$

$S = \int_{-1}^{0} (x^2 + 2x + 1) dx + \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 1) dx$

$S = \int_{-1}^{0} (x + 1)^2 dx + \int_{0}^{1} (x - 1)^2 dx$

$S = \left[ \frac{1}{3}(x+1)^3 \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{1}{3}(x-1)^3 \right]_{0}^{1}$

$S = \frac{1}{3}(1^3 - 0^3) + \frac{1}{3}(0^3 - (-1)^3)$

$S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{2}{3}$