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3次関数 $f(x) = x^3 - x$ が与えられている。曲線 $C: y = f(x)$ と、点 $(1, 0)$ における $C$ の接線 $l: y = 2(x - 1)$、および直線 $x = 3$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

解析学積分面積3次関数接線
2025/8/16

1. 問題の内容

3次関数 f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x が与えられている。曲線 C:y=f(x)C: y = f(x) と、点 (1,0)(1, 0) における CC の接線 l:y=2(x−1)l: y = 2(x - 1)、および直線 x=3x = 3 で囲まれる図形の面積 SS を求める。

2. 解き方の手順

(1) f(x)=x3−xf(x) = x^3 - x の導関数 f′(x)f'(x) を求める。
f′(x)=3x2−1f'(x) = 3x^2 - 1
(2) 点 (1,0)(1, 0) における接線の傾きを求める。
f′(1)=3(1)2−1=2f'(1) = 3(1)^2 - 1 = 2
与えられた接線の方程式は y=2(x−1)y = 2(x - 1) であり、これは y=2x−2y = 2x - 2 と表される。
(3) 曲線 y=x3−xy = x^3 - x と直線 y=2x−2y = 2x - 2 の交点を求める。
x3−x=2x−2x^3 - x = 2x - 2
x3−3x+2=0x^3 - 3x + 2 = 0
(x−1)2(x+2)=0(x - 1)^2(x + 2) = 0
よって、交点は x=1x = 1 (重解) および x=−2x = -2 である。
(4) 求める面積 SS を積分で表す。
S=∫−21(x3−x−(2x−2))dx+∫13(2x−2−(x3−x))dxS = \int_{-2}^{1} (x^3 - x - (2x - 2)) dx + \int_{1}^{3} (2x - 2 - (x^3 - x)) dx
S=∫−21(x3−3x+2)dx+∫13(−x3+3x−2)dxS = \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2) dx + \int_{1}^{3} (-x^3 + 3x - 2) dx
(5) 各積分を計算する。
∫−21(x3−3x+2)dx=[14x4−32x2+2x]−21=(14−32+2)−(164−122−4)=34−(4−6−4)=34−(−6)+2=34+6=274\int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_{-2}^{1} = \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{16}{4} - \frac{12}{2} - 4 \right) = \frac{3}{4} - (4 - 6 - 4) = \frac{3}{4} - (-6) + 2 = \frac{3}{4} + 6 = \frac{27}{4}
∫13(−x3+3x−2)dx=[−14x4+32x2−2x]13=(−814+272−6)−(−14+32−2)=−814+544−244+14−64+84=−484=−12\int_{1}^{3} (-x^3 + 3x - 2) dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^2 - 2x \right]_{1}^{3} = \left( -\frac{81}{4} + \frac{27}{2} - 6 \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2 \right) = -\frac{81}{4} + \frac{54}{4} - \frac{24}{4} + \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{8}{4} = -\frac{48}{4} = -12
=−504−(−5/4)=−49/4=-\frac{50}{4} -(-5/4)=-49/4
計算間違いがあったので再度計算
∫13(−x3+3x−2)dx=[−14x4+32x2−2x]13=(−814+272−6)−(−14+32−2)=(−814+544−244)−(−14+64−84)=−514−(−34)=−484=−12+2=−10\int_{1}^{3} (-x^3 + 3x - 2) dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^2 - 2x \right]_{1}^{3} = (-\frac{81}{4} + \frac{27}{2} - 6) - (-\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2) = (-\frac{81}{4} + \frac{54}{4} - \frac{24}{4}) - (-\frac{1}{4} + \frac{6}{4} - \frac{8}{4}) = -\frac{51}{4} - (-\frac{3}{4}) = - \frac{48}{4} = -12 + 2 = -10
絶対値をとって１０として
S=274+∣−484∣=274+484=754S = \frac{27}{4} + |-\frac{48}{4} | = \frac{27}{4} + \frac{48}{4} = \frac{75}{4}
または
S=274+12/2=−40/8S = \frac{27}{4} + 12/2= -40/8
S=274+∣−12∣==274+10/2S = \frac{27}{4} + |-12| = = \frac{27}{4} +10/2
S=274+∣−484∣S = \frac{27}{4} + | - \frac{48}{4} |
(6) 面積 SS を計算する。
S=274+12=274+484=754S = \frac{27}{4} + 12 = \frac{27}{4} + \frac{48}{4} = \frac{75}{4}

3. 最終的な答え

754\frac{75}{4}