放物線 $C: y = \frac{1}{2}x^2$ と、点$(2, 2)$における $C$ の接線 $l: y = 2x - 2$、および直線 $x = 5$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = \frac{1}{2}x^2$ と、点$(2, 2)$における $C$ の接線 $l: y = 2x - 2$、および直線 $x = 5$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ と直線 $y = 2x - 2$ の交点を求めます。

$\frac{1}{2}x^2 = 2x - 2$

$x^2 = 4x - 4$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

したがって、放物線と直線は $x = 2$ で接していることがわかります。

次に、囲まれた図形の面積 $S$ を計算します。面積 $S$ は、積分を使って求めることができます。積分区間は $x = 2$ から $x = 5$ までです。

$S = \int_{2}^{5} \left| \frac{1}{2}x^2 - (2x - 2) \right| dx$

$S = \int_{2}^{5} \left( 2x - 2 - \frac{1}{2}x^2 \right) dx$

$S = \left[ x^2 - 2x - \frac{1}{6}x^3 \right]_{2}^{5}$

$S = \left( 5^2 - 2(5) - \frac{1}{6}(5^3) \right) - \left( 2^2 - 2(2) - \frac{1}{6}(2^3) \right)$

$S = \left( 25 - 10 - \frac{125}{6} \right) - \left( 4 - 4 - \frac{8}{6} \right)$

$S = 15 - \frac{125}{6} + \frac{8}{6}$

$S = 15 - \frac{117}{6}$

$S = 15 - \frac{39}{2}$

$S = \frac{30 - 39}{2}$

$S = - \frac{9}{2}$

面積なので正の値をとる必要がある。したがって

$S = \int_{2}^{5} \left| \frac{1}{2}x^2 - (2x - 2) \right| dx = \int_{2}^{5} \left(2x - 2 - \frac{1}{2}x^2\right)dx$

$S = \left[x^2-2x-\frac{x^3}{6}\right]_2^5$

$S = (25 - 10 - \frac{125}{6}) - (4 - 4 - \frac{8}{6})$

$S = 15 - \frac{125}{6} + \frac{8}{6}$

$S = 15 - \frac{117}{6}$

$S = 15 - \frac{39}{2}$

$S = \frac{30 - 39}{2}$

$S = -\frac{9}{2}$

したがって面積は $\frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}$