3次関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$ について、曲線 $C: y = f(x)$ と点 $(2, -\frac{16}{3})$ における $C$ の接線 $l: y = -\frac{16}{3}$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$ について、曲線 $C: y = f(x)$ と点 $(2, -\frac{16}{3})$ における $C$ の接線 $l: y = -\frac{16}{3}$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、接線の方程式を求めます。

$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$ なので、$f'(x) = x^2 - 4$ です。

点 $(2, -\frac{16}{3})$ における接線の傾きは $f'(2) = 2^2 - 4 = 0$ です。

したがって、接線の方程式は $y = -\frac{16}{3}$ です。

次に、曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = -\frac{16}{3}$ の交点を求めます。

$\frac{1}{3}x^3 - 4x = -\frac{16}{3}$

$x^3 - 12x = -16$

$x^3 - 12x + 16 = 0$

$(x-2)^2(x+4) = 0$

よって、交点は $x = 2$ （重解）と $x = -4$ です。

求める面積 $S$ は、$\int_{-4}^{2} (f(x) - (-\frac{16}{3})) dx$ で表されます。

$S = \int_{-4}^{2} (\frac{1}{3}x^3 - 4x + \frac{16}{3}) dx$

$S = [\frac{1}{12}x^4 - 2x^2 + \frac{16}{3}x]_{-4}^{2}$

$S = (\frac{1}{12}(2^4) - 2(2^2) + \frac{16}{3}(2)) - (\frac{1}{12}(-4)^4 - 2(-4)^2 + \frac{16}{3}(-4))$

$S = (\frac{16}{12} - 8 + \frac{32}{3}) - (\frac{256}{12} - 32 - \frac{64}{3})$

$S = (\frac{4}{3} - 8 + \frac{32}{3}) - (\frac{64}{3} - 32 - \frac{64}{3})$

$S = (\frac{36}{3} - 8) - (-32)$

$S = 12 - 8 + 32$

$S = 4 + 32$

$S = 36$

3. 最終的な答え

36