放物線 $C: y = -x^2 + 4x$ と、点 $(1, 3)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = -x^2 + 4x$ と、点 $(1, 3)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $C$ 上の点 $(1, 3)$ における接線 $l$ の方程式を求めます。

$y = -x^2 + 4x$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = -2x + 4$

点 $(1, 3)$ における接線の傾きは、

$m = -2(1) + 4 = 2$

したがって、接線 $l$ の方程式は、

$y - 3 = 2(x - 1)$

$y = 2x - 2 + 3$

$y = 2x + 1$

次に、接線 $l: y = 2x + 1$ と $x$ 軸との交点を求めます。

$2x + 1 = 0$ より、

$x = -\frac{1}{2}$

したがって、接線 $l$ は点 $(-\frac{1}{2}, 0)$ で $x$ 軸と交わります。

次に、放物線 $C: y = -x^2 + 4x$ と $x$ 軸との交点を求めます。

$-x^2 + 4x = 0$

$x(-x + 4) = 0$

$x = 0, 4$

したがって、放物線 $C$ は点 $(0, 0)$ と $(4, 0)$ で $x$ 軸と交わります。

求める面積 $S$ は、接線 $l$ と $x$ 軸とで囲まれる三角形の面積から、放物線 $C$ と $x$ 軸との間で $x = 0$ から $x = 1$ までの積分を引いたものに、放物線 $C$ と $x$ 軸の間で $x=1$から$x=4$までの面積を足したもののようです。

計算を簡単にするために、図を描いて面積を求めやすいようにします。

接線とx軸の交点は$x = -\frac{1}{2}$なので、接線とx軸、x=1で囲まれる三角形の面積は

$S_1 = \frac{1}{2} (1 - (-\frac{1}{2})) \times 3 = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times 3 = \frac{9}{4}$

放物線とx軸で囲まれた0から1の領域の面積は

$S_2 = \int_{0}^{1} (-x^2 + 4x) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + 2x^2]_{0}^{1} = -\frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3}$

したがって接線と放物線とx軸に囲まれた面積は

$S = S_1 - S_2 = \frac{9}{4} - \frac{5}{3} = \frac{27 - 20}{12} = \frac{7}{12}$

しかし、図を描いてみると、接線、放物線、$x$軸で囲まれた領域は、$x = 1$から放物線とx軸で囲まれた領域となります。

したがって、放物線、$x$軸、$x = 1$、$x = 4$で囲まれた領域の面積を求めます。

$S = \int_{1}^{4} (-x^2 + 4x) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + 2x^2]_{1}^{4} = (-\frac{64}{3} + 32) - (-\frac{1}{3} + 2) = -\frac{64}{3} + 32 + \frac{1}{3} - 2 = -\frac{63}{3} + 30 = -21 + 30 = 9$

積分計算だと接線は考慮されないので、別の方法で計算します。

三角形の面積を求める代わりに、放物線と接線で囲まれる面積を積分で求めます。

$S = \int_{1}^{4} (2x+1 - (-x^2+4x)) dx = \int_{1}^{4} (x^2 - 2x + 1) dx = [\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x]_{1}^{4} = (\frac{64}{3} - 16 + 4) - (\frac{1}{3} - 1 + 1) = \frac{64}{3} - 12 - \frac{1}{3} = \frac{63}{3} - 12 = 21 - 12 = 9$

3. 最終的な答え

9