放物線 $C: y = -x^2 + 4x$ 上の点 $(1, 3)$ における接線と、$x$軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = -x^2 + 4x$ 上の点 $(1, 3)$ における接線と、$x$軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1: 接線を求める。

まず、$y = -x^2 + 4x$ を微分して、$y' = -2x + 4$ を得る。

点 $(1, 3)$ における接線の傾きは、$y'(1) = -2(1) + 4 = 2$ である。

よって、接線の方程式は、$y - 3 = 2(x - 1)$ となり、整理すると、$y = 2x + 1$ となる。

ステップ2: 接線と$x$軸の交点を求める。

$y = 2x + 1$ と $y = 0$ (x軸) の交点を求めるには、$2x + 1 = 0$ を解く。

$2x = -1$ より、$x = -\frac{1}{2}$ である。

したがって、接線と $x$軸の交点は $(-\frac{1}{2}, 0)$ である。

ステップ3: 放物線 $y = -x^2 + 4x$ と x軸の交点を求める。

$-x^2 + 4x = 0$ を解くと、$-x(x - 4) = 0$ より $x = 0, 4$ である。

ステップ4: 面積を計算する。

求める面積は、接線 $y = 2x + 1$ と x軸、そして放物線 $y = -x^2 + 4x$ と接線で囲まれた部分の面積を求める必要がある。

接線と$x$軸の交点 $x = -\frac{1}{2}$から、放物線と接点のx座標 $x = 1$までの接線とx軸で囲まれる三角形の面積を求める。

三角形の面積は、$S_1 = \frac{1}{2} \cdot (1 - (-\frac{1}{2})) \cdot 3 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{4}$ である。

次に、放物線$y = -x^2 + 4x$ と接線$y=2x+1$で囲まれた部分の面積を求める。

$-x^2+4x-(2x+1) = -x^2+2x-1 = -(x-1)^2$

$\int_1^4 (-x^2 + 4x) dx - \int_1^4 (2x+1) dx = \int_1^4 ((-x^2 + 4x) - (2x+1))dx = \int_1^4 (-x^2+2x-1) dx = \int_1^4 -(x-1)^2 dx = [-\frac{1}{3}(x-1)^3]_1^4 = -\frac{1}{3}(3^3) + \frac{1}{3}(0) = -\frac{27}{3} = -9$

接線と放物線で囲まれる面積は符号を反転させる必要があるため、9となる。

これは放物線と接線で囲まれた面積を表す。

求める面積は、三角形の面積から接線と放物線で囲まれた面積を引く必要がある。

したがって、求める面積は、$S = 9/4$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{4}$