放物線 $C: y = -x^2 + 4x$ の点 $(1, 3)$ における接線と、$x$軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = -x^2 + 4x$ の点 $(1, 3)$ における接線と、$x$軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = -x^2 + 4x$ を微分して、$x = 1$ における接線の傾きを求めます。

$y' = -2x + 4$

$x = 1$ のとき、$y' = -2(1) + 4 = 2$

したがって、点 $(1, 3)$ における接線の傾きは $2$ です。

次に、接線の式を求めます。接線の式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表され、点 $(x_1, y_1)$ を通り、傾きが $m$ の直線を表します。この問題では、$(x_1, y_1) = (1, 3)$ であり、$m = 2$ です。

したがって、接線の式は、$y - 3 = 2(x - 1)$ となり、これを整理すると

$y = 2x - 2 + 3 = 2x + 1$

接線の式は $y = 2x + 1$ となります。

次に、接線と$x$軸の交点を求めます。これは、$y = 2x + 1$ に $y = 0$ を代入して、$x$ を求めることで求められます。

$0 = 2x + 1$

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

したがって、接線と$x$軸の交点は $(-\frac{1}{2}, 0)$ です。

次に、求める面積を計算します。接線と$x$軸と$y$軸で囲まれる図形は三角形です。

底辺は$-\frac{1}{2}$から$x=0$までの長さであるため、$\frac{1}{2}$です。高さは$y=2x+1$の$y$切片であるため、$1$です。

したがって、三角形の面積は

$S = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$