3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ が与えられたとき、曲線 $C: y = f(x)$ と点 $(0, 0)$ における $C$ の接線 $l$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ が与えられたとき、曲線 $C: y = f(x)$ と点 $(0, 0)$ における $C$ の接線 $l$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1: 接線の方程式を求める。

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ より、$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$ である。

点 $(0, 0)$ における接線の傾きは $f'(0) = 3(0)^2 - 6(0) + 2 = 2$ である。

したがって、接線 $l$ の方程式は $y = 2x$ である。

ステップ2: 曲線 $y = f(x)$ と接線 $y = 2x$ の交点を求める。

$x^3 - 3x^2 + 2x = 2x$

$x^3 - 3x^2 = 0$

$x^2(x - 3) = 0$

よって、$x = 0, 3$。交点は $(0, 0)$ と $(3, 6)$。

ステップ3: 面積 $S$ を求める。

面積 $S$ は、曲線 $y = f(x)$ と接線 $y = 2x$ で囲まれた部分の面積なので、

$S = \int_0^3 |(x^3 - 3x^2 + 2x) - 2x| dx = \int_0^3 |x^3 - 3x^2| dx$

$S = \int_0^3 |x^2(x - 3)| dx$

$0 \le x \le 3$ において $x^2 \ge 0$ であり、$x - 3 \le 0$ であるから、$x^2(x - 3) \le 0$。

よって、$|x^2(x - 3)| = -x^2(x - 3) = -x^3 + 3x^2$。

$S = \int_0^3 (-x^3 + 3x^2) dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + x^3 \right]_0^3 = -\frac{1}{4}(3^4) + 3^3 = -\frac{81}{4} + 27 = \frac{-81 + 108}{4} = \frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{27}{4}$