放物線 $C: y = -x^2 + 3x$ と、点 $(2, 2)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = -x^2 + 3x$ と、点 $(2, 2)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $C: y = -x^2 + 3x$ を微分して、接線の傾きを求めます。

$y' = -2x + 3$

点 $(2, 2)$ における接線の傾きは、 $x = 2$ を代入して、

$y' = -2(2) + 3 = -1$

したがって、接線 $l$ の方程式は、傾きが $-1$ で点 $(2, 2)$ を通るので、

$y - 2 = -1(x - 2)$

$y = -x + 4$

次に、接線 $l$ と $x$ 軸の交点を求めます。$y = 0$ を代入すると、

$0 = -x + 4$

$x = 4$

したがって、接線 $l$ と $x$ 軸の交点は $(4, 0)$ です。

次に、放物線 $C$ と $x$ 軸の交点を求めます。$y = 0$ を代入すると、

$0 = -x^2 + 3x$

$0 = x(-x + 3)$

$x = 0, 3$

したがって、放物線 $C$ と $x$ 軸の交点は $(0, 0)$ と $(3, 0)$ です。

求める面積 $S$ は、接線 $l$ と $x$ 軸、および放物線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた領域の面積です。

$S = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx - \int_{2}^{3} (-x+4) dx$

$S = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx - \int_{3}^{4} (-x+4) dx - \int_{2}^{4} (-x+4) dx$

三角形の面積を求める方が簡単です。

積分よりも図形的に考えます。

接線とx軸、x=2の直線で囲まれた三角形の面積は

$\frac{1}{2} \cdot (4-2) \cdot (2) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$

放物線とx軸、x=0, x=3の直線で囲まれた面積は

$\int_0^3 (-x^2 + 3x) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2]_0^3 = -\frac{1}{3}(3^3) + \frac{3}{2}(3^2) = -9 + \frac{27}{2} = \frac{9}{2}$

よって求める面積は$\frac{9}{2} - 2 = \frac{5}{2}$

接線 l とx軸で囲まれた領域のxが2から4までの積分

$\int_2^4 (-x+4)dx = [-\frac{x^2}{2} + 4x]_2^4 = (-\frac{16}{2} + 16) - (-\frac{4}{2} + 8) = (-8+16) - (-2+8) = 8 - 6 = 2$

接線 l とx=2、x軸で囲まれた領域の三角形の面積

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2}$