3次関数 $f(x) = x^3 - x$ で表される曲線 $C: y = f(x)$ と、点$(1, 0)$における曲線 $C$ の接線 $l: y = 2(x - 1)$、および直線 $x = -1$ で囲まれる図形の面積 $S$ を、$x \ge -1$ の範囲で求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - x$ で表される曲線 $C: y = f(x)$ と、点$(1, 0)$における曲線 $C$ の接線 $l: y = 2(x - 1)$、および直線 $x = -1$ で囲まれる図形の面積 $S$ を、$x \ge -1$ の範囲で求める。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $C: y = f(x)$ と接線 $l: y = 2(x - 1)$ の交点を求める。

$x^3 - x = 2(x - 1)$ より、

$x^3 - x - 2x + 2 = 0$

$x^3 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x^2 + x - 2) = 0$

$(x - 1)(x - 1)(x + 2) = 0$

$(x - 1)^2(x + 2) = 0$

よって、$x = 1, -2$。

$x \ge -1$ という条件があるため、積分範囲は $-1 \le x \le 1$ となる。

次に、区間 $[-1, 1]$ において、曲線 $y = f(x) = x^3 - x$ と直線 $y = 2(x - 1) = 2x - 2$ の上下関係を調べる。

$g(x) = (2x - 2) - (x^3 - x) = -x^3 + 3x - 2$

$g(x) = -(x - 1)^2(x + 2)$

区間 $[-1, 1]$ において、$(x - 1)^2 \ge 0$、$(x + 2) > 0$ であるから、$g(x) \le 0$ となる。

よって、$f(x) \ge 2(x-1)$ である。

したがって、求める面積 $S$ は、

$S = \int_{-1}^1 \{ (x^3 - x) - (2x - 2) \} dx$

$S = \int_{-1}^1 (x^3 - 3x + 2) dx$

$S = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^1$

$S = \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} - 2 \right)$

$S = \left( \frac{1 - 6 + 8}{4} \right) - \left( \frac{1 - 6 - 8}{4} \right)$

$S = \frac{3}{4} - \left( -\frac{13}{4} \right) = \frac{3}{4} + \frac{13}{4} = \frac{16}{4} = 4$

3. 最終的な答え

4