放物線 $C: y = \frac{1}{2}x^2 + 3x$ と、点 $(-2, -4)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = \frac{1}{2}x^2 + 3x$ と、点 $(-2, -4)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $C: y = \frac{1}{2}x^2 + 3x$ を微分し、接線の傾きを求める。

$y' = x + 3$

点 $(-2, -4)$ における接線の傾きは、 $x = -2$ を代入して、

$y' = -2 + 3 = 1$

接線の方程式は、$y - (-4) = 1(x - (-2))$ より、

$y + 4 = x + 2$

$y = x - 2$

接線と $x$ 軸との交点を求める。$y = 0$ とすると、

$0 = x - 2$

$x = 2$

接線 $y = x - 2$ と $x$ 軸との交点は $(2, 0)$ である。

次に、放物線 $y = \frac{1}{2}x^2 + 3x$ と $x$ 軸との交点を求める。$y = 0$ とすると、

$0 = \frac{1}{2}x^2 + 3x$

$0 = x^2 + 6x$

$0 = x(x + 6)$

$x = 0, -6$

放物線と $x$ 軸との交点は $(0, 0)$ と $(-6, 0)$ である。

求める面積は、積分を用いて計算する。積分区間は $-2$ から $2$ である。

$S = \int_{-2}^{2} |(\frac{1}{2}x^2 + 3x) - (x - 2)| dx = \int_{-2}^{2} |\frac{1}{2}x^2 + 2x + 2| dx$

$\frac{1}{2}x^2 + 2x + 2 = \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4) + 0 = \frac{1}{2}(x+2)^2 \geq 0$ なので、絶対値は不要。

$S = \int_{-2}^{2} (\frac{1}{2}x^2 + 2x + 2) dx$

$= [\frac{1}{6}x^3 + x^2 + 2x]_{-2}^{2}$

$= (\frac{1}{6}(2)^3 + (2)^2 + 2(2)) - (\frac{1}{6}(-2)^3 + (-2)^2 + 2(-2))$

$= (\frac{8}{6} + 4 + 4) - (\frac{-8}{6} + 4 - 4)$

$= \frac{4}{3} + 8 + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} + 8 = \frac{8 + 24}{3} = \frac{32}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{32}{3}$