3次関数 $f(x) = x^3 - 3x$ について、曲線 $C: y = f(x)$ と点 $(1, -2)$ における $C$ の接線 $l: y = -2$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 3x$ について、曲線 $C: y = f(x)$ と点 $(1, -2)$ における $C$ の接線 $l: y = -2$ で囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^3 - 3x$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 3$

点 $(1, -2)$ における接線の傾きは、$f'(1)$ である。

$f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 0$

したがって、点 $(1, -2)$ における接線の方程式は、$y = -2$ である。

次に、$y = f(x)$ と $y = -2$ の交点を求める。

$x^3 - 3x = -2$

$x^3 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)^2(x + 2) = 0$

したがって、$x = 1$ (重解) と $x = -2$ が交点の $x$ 座標である。

求める面積 $S$ は、積分を用いて計算できる。

$S = \left| \int_{-2}^1 (x^3 - 3x - (-2)) \, dx \right| = \left| \int_{-2}^1 (x^3 - 3x + 2) \, dx \right|$

$S = \left| \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_{-2}^1 \right|$

$S = \left| \left( \frac{1}{4}(1)^4 - \frac{3}{2}(1)^2 + 2(1) \right) - \left( \frac{1}{4}(-2)^4 - \frac{3}{2}(-2)^2 + 2(-2) \right) \right|$

$S = \left| \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{4}(16) - \frac{3}{2}(4) - 4 \right) \right|$

$S = \left| \left( \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{8}{4} \right) - \left( 4 - 6 - 4 \right) \right|$

$S = \left| \frac{3}{4} - (-6) \right| = \left| \frac{3}{4} + 6 \right| = \left| \frac{3}{4} + \frac{24}{4} \right| = \left| \frac{27}{4} \right| = \frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{27}{4}$