放物線 $C: y = -x^2 + 4x$ と、点 $(1, 3)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = -x^2 + 4x$ と、点 $(1, 3)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

ステップ1: 接線 $l$ の方程式を求める。

まず、放物線 $C$ の導関数 $y'$ を計算する。

$y' = -2x + 4$

点 $(1, 3)$ における接線の傾きは、 $x = 1$ を代入して

$y'(1) = -2(1) + 4 = 2$

したがって、接線 $l$ の方程式は、点 $(1, 3)$ を通り、傾きが 2 であるから、

$y - 3 = 2(x - 1)$

$y = 2x - 2 + 3$

$y = 2x + 1$

ステップ2: 放物線 $C$ と $x$ 軸の交点を求める。

$y = -x^2 + 4x = 0$

$-x(x - 4) = 0$

$x = 0, 4$

したがって、放物線 $C$ は $x = 0$ と $x = 4$ で $x$ 軸と交わる。

ステップ3: 接線 $l$ と $x$ 軸の交点を求める。

$y = 2x + 1 = 0$

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

したがって、接線 $l$ は $x = -\frac{1}{2}$ で $x$ 軸と交わる。

ステップ4: 求める面積 $S$ を計算する。

$S$ は、放物線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた領域のうち、$x=0$ から $x=1$ までの部分と、接線 $l$ と $x$ 軸で囲まれた三角形のうち、$x=-\frac{1}{2}$ から $x=1$ までの部分の面積の和から、放物線 $C$ と接線 $l$ で囲まれた $x=1$ 付近の領域の面積を引いたものになる。

ここで，$y=-x^2+4x$ と $y = 2x + 1$ の交点の $x$ 座標を求める．

$-x^2+4x = 2x+1$

$x^2-2x+1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

放物線 $C$ と接線 $l$ は $x=1$ で接するのみ．

求める面積 $S$ は、

$S = \int_{0}^{1} (-x^2 + 4x) dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{1} (2x + 1) dx - \int_{0}^{1} (2x+1) dx$

$S = \int_{0}^{1} (-x^2 + 4x) dx - \int_{-\frac{1}{2}}^{0} (2x + 1) dx$

まず $\int_{0}^{1} (-x^2 + 4x) dx$ を計算する。

$\int_{0}^{1} (-x^2 + 4x) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + 2x^2]_{0}^{1} = -\frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3}$

次に $\int_{-\frac{1}{2}}^{0} (2x + 1) dx$ を計算する。

$\int_{-\frac{1}{2}}^{0} (2x + 1) dx = [x^2 + x]_{-\frac{1}{2}}^{0} = 0 - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$

したがって、求める面積 $S$ は、

$S = \frac{5}{3} - \frac{1}{4} = \frac{20 - 3}{12} = \frac{17}{12}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{17}{12}$