放物線 $C: y = -x^2 + 4x$ 上の点 $(1, 3)$ における接線 $l$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = -x^2 + 4x$ 上の点 $(1, 3)$ における接線 $l$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 放物線 $C$ の点 $(1, 3)$ における接線の方程式を求めます。

$y = -x^2 + 4x$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = -2x + 4$

$x = 1$ のとき、$\frac{dy}{dx} = -2(1) + 4 = 2$ であるから、点 $(1, 3)$ における接線の傾きは $2$ です。

したがって、接線 $l$ の方程式は、

$y - 3 = 2(x - 1)$

$y = 2x - 2 + 3$

$y = 2x + 1$

(2) 接線 $l$ と $x$ 軸との交点を求めます。

$y = 2x + 1$ と $y = 0$ より、

$2x + 1 = 0$

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

したがって、接線 $l$ と $x$ 軸の交点は $(-\frac{1}{2}, 0)$ です。

(3) 求める面積 $S$ を計算します。

求める面積は、接線 $l: y = 2x + 1$ と $x$ 軸で囲まれた、$x = -\frac{1}{2}$ から $x = 1$ までの範囲の三角形の面積です。

$x = 1$ のとき、$y = 2(1) + 1 = 3$ であるから、三角形の高さは $3$ です。

三角形の底辺は $1 - (-\frac{1}{2}) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ です。

したがって、面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times 3$

$S = \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

面積 $S = \frac{9}{4}$