放物線 $C: y = -x^2 + 4x$ と、点 $(1, 3)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = -x^2 + 4x$ と、点 $(1, 3)$ における $C$ の接線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 接線 $l$ の方程式を求める。

まず、放物線 $C$ の微分を計算します。

$y' = -2x + 4$

次に、$x = 1$ における微分係数を計算します。

$y'(1) = -2(1) + 4 = 2$

よって、点 $(1, 3)$ における接線 $l$ の方程式は、次のようになります。

$y - 3 = 2(x - 1)$

$y = 2x - 2 + 3$

$y = 2x + 1$

ステップ2: 放物線 $C$ と $x$ 軸との交点を求める。

$y = -x^2 + 4x = 0$

$-x(x - 4) = 0$

$x = 0, 4$

ステップ3: 接線 $l$ と $x$ 軸との交点を求める。

$y = 2x + 1 = 0$

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

ステップ4: 求める面積 $S$ を計算する。

求める面積は、放物線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた領域の面積から、接線 $l$ と $x$ 軸で囲まれた三角形の面積を引いたものになります。ただし、積分範囲は接線と放物線が交差する $x=1$ から放物線とx軸の交点である $x=4$ までです。

放物線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた領域の面積は、積分を使って計算します。

$S_1 = \int_{0}^{4} (-x^2 + 4x) dx$

$S_1 = [-\frac{1}{3}x^3 + 2x^2]_0^4 = -\frac{64}{3} + 32 = \frac{-64 + 96}{3} = \frac{32}{3}$

接線 $l$ と $x$ 軸で囲まれた三角形の面積は、底辺 $\frac{3}{2}$、高さ $3$ の三角形の面積です。放物線と接線の交点の$x$座標は1で、x軸との交点の$x$座標は $-\frac{1}{2}$なので、底辺の長さは$1 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$です。

$S_2 = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times 3 = \frac{9}{4}$

しかし、面積を求める範囲は$x=1$から$x=4$までなので、積分を計算する必要があります。

$S = \int_{1}^{4} (-x^2 + 4x - (2x+1)) dx$

$S = \int_{1}^{4} (-x^2 + 2x - 1) dx$

$S = \int_{1}^{4} -(x-1)^2 dx$

$S = [-\frac{1}{3}(x-1)^3]_{1}^{4} = -\frac{1}{3}(3^3) - 0 = -\frac{27}{3} = -9$

面積なので絶対値を取ると9になります。

3. 最終的な答え

求める面積 $S$ は $9$ です。