放物線 $y=ax^2$ と直線 $l$ が2点A, Bで交わっている。点Aのx座標は-3で、点Bの座標は(2, 2)である。点Pは放物線上にあり、2点A, Bの間を動くとき、次の問いに答えなさい。 (1) $a$ の値はいくらか。 (2) 直線 $l$ の方程式を求めなさい。 (3) 放物線上のx座標が1の点をCとする。$\triangle ACB$ と $\triangle APB$ の面積が等しくなる点Pの座標を求めなさい。 (4) (3)のとき、四角形APCBの面積を求めなさい。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

放物線 $y=ax^2$ と直線 $l$ が2点A, Bで交わっている。点Aのx座標は-3で、点Bの座標は(2, 2)である。点Pは放物線上にあり、2点A, Bの間を動くとき、次の問いに答えなさい。

(1) $a$ の値はいくらか。

(2) 直線 $l$ の方程式を求めなさい。

(3) 放物線上のx座標が1の点をCとする。$\triangle ACB$ と $\triangle APB$ の面積が等しくなる点Pの座標を求めなさい。

(4) (3)のとき、四角形APCBの面積を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 点B(2, 2) は放物線 $y=ax^2$ 上にあるので、座標を代入すると、

$2 = a \cdot 2^2$

$2 = 4a$

$a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(2) 点Aのx座標は-3なので、$y=\frac{1}{2}x^2$に代入すると、

$y = \frac{1}{2}(-3)^2 = \frac{9}{2}$

よって、点Aの座標は$(-3, \frac{9}{2})$である。

2点A$(-3, \frac{9}{2})$、B$(2, 2)$を通る直線の傾きは、

$\frac{2 - \frac{9}{2}}{2 - (-3)} = \frac{-\frac{5}{2}}{5} = -\frac{1}{2}$

直線の方程式は、$y = -\frac{1}{2}x + b$とおける。点B(2, 2)を通るので、

$2 = -\frac{1}{2} \cdot 2 + b$

$2 = -1 + b$

$b = 3$

よって、直線 $l$ の方程式は、$y = -\frac{1}{2}x + 3$である。

(3) 点Cのx座標は1なので、$y=\frac{1}{2}x^2$に代入すると、

$y = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$

よって、点Cの座標は$(1, \frac{1}{2})$である。

$\triangle ACB$と$\triangle APB$の面積が等しくなるということは、直線ABと直線CPが平行になるということである。

直線CPの傾きは$-\frac{1}{2}$である。

C(1, 1/2)を通る傾き$-\frac{1}{2}$の直線の方程式は、

$y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(x - 1)$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{2}x + 1$

点Pは、$y = \frac{1}{2}x^2$ 上にあるので、連立して解くと、

$\frac{1}{2}x^2 = -\frac{1}{2}x + 1$

$x^2 = -x + 2$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

$x = -2, 1$

x=1は点Cなので、x=-2

$y = \frac{1}{2}(-2)^2 = 2$

したがって、点Pの座標は$(-2, 2)$である。

(4) 四角形APCBの面積を求める。

四角形APCBは台形であるから、

上底PC、下底ABとして、高さは点A, Bを通る直線と点C, Pを通る直線の距離である。

PC = -2 - 1 = -3

AB = 2 - (-3) = 5

高さは、$y=-\frac{1}{2}x+3$と$y=-\frac{1}{2}x+1$の切片の差なので、3 - 1 = 2

面積 = $\frac{1}{2} (|PC|+|AB|) \cdot 高さ$

$= \frac{1}{2}(3+5) \cdot 垂直距離$

点と直線の距離の公式を使用する。

ABの式：$x + 2y - 6 = 0$

点C(1, 1/2)からABまでの距離：$\frac{|1 + 2\cdot(1/2) - 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$

点P(-2, 2)からABまでの距離：$\frac{|-2 + 2\cdot(2) - 6|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$

$\triangle APB = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 高さ= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} \cdot 2 = 4 \sqrt{5}$

$\triangle ACB = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 高さ= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} \cdot 2 = 4 \sqrt{5}$

四角形APCBの面積 = $\triangle APB + \triangle ACB$

しかし、台形とみて計算すると、

$AB = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (2 - \frac{9}{2})^2} = \sqrt{25 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$

$PC = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (2 - \frac{1}{2})^2} = \sqrt{9 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$

面積= $\frac{1}{2}(AB+PC)\cdot 高さ= \frac{1}{2}(\frac{5\sqrt{5}}{2}+\frac{3\sqrt{5}}{2})\frac{4}{\sqrt{5}} = 8$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) $y = -\frac{1}{2}x + 3$

(3) Pの座標は$(-2, 2)$

(4) 四角形APCBの面積は8