(1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx + 2$ が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。 (2) 円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $y = 3x + k$ が接するとき、定数 $k$ の値と接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx + 2$ が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $y = 3x + k$ が接するとき、定数 $k$ の値と接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = mx + 2$ が共有点を持つ条件は、円の中心 $(0, 0)$ と直線 $mx - y + 2 = 0$ の距離 $d$ が、円の半径 $1$ 以下であることである。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|m \cdot 0 - 0 + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$d \leq 1$ より、

$\frac{2}{\sqrt{m^2 + 1}} \leq 1$

$2 \leq \sqrt{m^2 + 1}$

$4 \leq m^2 + 1$

$m^2 \geq 3$

$m \leq -\sqrt{3}$ または $m \geq \sqrt{3}$

(2)

円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $y = 3x + k$ が接する条件は、円の中心 $(0, 0)$ と直線 $3x - y + k = 0$ の距離 $d$ が、円の半径 $\sqrt{10}$ に等しいことである。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|3 \cdot 0 - 0 + k|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{10}}$

$d = \sqrt{10}$ より、

$\frac{|k|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$

$|k| = 10$

$k = \pm 10$

$k = 10$ のとき、

$y = 3x + 10$ を $x^2 + y^2 = 10$ に代入して、

$x^2 + (3x + 10)^2 = 10$

$x^2 + 9x^2 + 60x + 100 = 10$

$10x^2 + 60x + 90 = 0$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

$(x + 3)^2 = 0$

$x = -3$

$y = 3(-3) + 10 = 1$

接点の座標は $(-3, 1)$

$k = -10$ のとき、

$y = 3x - 10$ を $x^2 + y^2 = 10$ に代入して、

$x^2 + (3x - 10)^2 = 10$

$x^2 + 9x^2 - 60x + 100 = 10$

$10x^2 - 60x + 90 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

$x = 3$

$y = 3(3) - 10 = -1$

接点の座標は $(3, -1)$

3. 最終的な答え

(1) $m \leq -\sqrt{3}$ または $m \geq \sqrt{3}$

(2) $k = 10$ のとき、接点の座標は $(-3, 1)$

　 $k = -10$ のとき、接点の座標は $(3, -1)$