$m$ を実数とするとき、3次方程式 $x^3 + (m+1)x^2 - m^2x - m^2 - m = 0$ の解が $-1$ と虚数であるとき、$m$ のとりうる値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$m$ を実数とするとき、3次方程式 $x^3 + (m+1)x^2 - m^2x - m^2 - m = 0$ の解が $-1$ と虚数であるとき、$m$ のとりうる値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x = -1$ が方程式の解であることから、方程式は $(x+1)$ で割り切れる。実際に割り算を行うと、

$x^3 + (m+1)x^2 - m^2x - m^2 - m = (x+1)(x^2 + mx - m^2 - m) = 0$

したがって、残りの解は2次方程式 $x^2 + mx - m^2 - m = 0$ の解である。

この2次方程式の解が虚数であるためには、判別式 $D$ が負でなければならない。

$D = m^2 - 4(1)(-m^2 - m) = m^2 + 4m^2 + 4m = 5m^2 + 4m < 0$

$m(5m + 4) < 0$

$-\frac{4}{5} < m < 0$

この範囲において、$x^2 + mx - m^2 - m = 0$ の解が $-1$ と異なることを確認する必要がある。

$x = -1$ を代入すると、

$(-1)^2 + m(-1) - m^2 - m = 1 - m - m^2 - m = -m^2 - 2m + 1 = 0$

$m^2 + 2m - 1 = 0$

$m = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

$m = -1 \pm \sqrt{2}$ は $-\frac{4}{5} < m < 0$ の範囲に含まれないため、問題ない。

3. 最終的な答え

$-\frac{4}{5} < m < 0$